2024-2024年高考数学二轮复习（17）推理与证明教案
【专题要点】
1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明.
2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.
3.演绎推理 4.证明
①综合法和分析法:会用这两种方法证明具体问题; ②反证法 近几年高考中加大了其考察力度.
③数学归纳法.在有关正整数的问题证明时常用数学归纳法进行证明. 【考纲要求】
1合情推理与演绎推理
① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2直接证明与间接证明
① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
【知识纵横】
???归纳推理合情推理????推理???类比推理???演绎推理??推理与证明??
??综合法?直接证明???证明????分析法??间接证明?反证法???【教法指引】
高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握
在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何
是考查“演绎推理”的最好教材
“直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。该部分命题的方向主要在函数、三角恒等变换、数列、立体几何、解析几何等方面，主要以考查“直接证明”中的综合法为主。
由于“数学归纳法”仅限于与自然数有关的命题，故单独命题的可能性不大，多数以数列及不等式为载体来综合考查。高考常见的题型有：证明等式问题、证明不等式问题、证明整除问题和解决数列中的探究性问题等，但不排除在客观题中考查数学归纳法的原理和证明步骤
【典例精析】 1. 考查类比推理
例1(xx年全国卷）在平面几何里，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何勾股定理，可以得到的正确的结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则 ”。
解：如图，作，垂足为，连接．由三个侧面两两相互垂直可知．在中，S?ABC?又； ； ．
所
11ABAC?BCAE，得，22以
S2?BCD111AB2AC2?222222?2?BCED?BC?AD?AE??BC?AD?? 2444BC??1B42???C2?14
．
点评:这道题目考察的是平面到空间的推广类比．解答这类题目不能只满足结论形式上的相似，还必须是真命题，结论的推导还是要从平面结论下手，一般在推导空间的结论时要用到平面的结论，或利用类似平面结论推导的方法，如等面积法类比等体积，直线类比作平面等．
例2(xx年浙江卷理科第15题)观察下列等式： ，
，
15913C13?C13?C13?C13?211?25， 1591317157 C17?C17?C17?C17?C17?2?2，
………
由以上等式推测到一个一般的结论： 对于，C4n?1?C4n?1?C4n?1?1594n?1?C4n?1? ． 答案：
【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于， C4n?1?C4n?1?C4n?1?1594n?1?C4n?1?
2.考查归纳推理
例3(xx年福建卷理科第16题) 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，
当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 答案：7次
【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.
这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次. 例4(xx湖北，15）观察下列等式：
?i?i?1nn121n?n,22121212i?n?n?n, ?326i?1111n3i?n2?n2?n2,?424i?114141314i?n?n?n?n, ?52330i?1n2an?n?4,bn?(?1)n(an?3n?21), 3……………………………………
?ii?1nk?ak?1nk?2?aknk?ak?1nk?1?ak?2nk?2?????a1n?a0,
可以推测，当x≥2（k∈N*）时，ak?1?11,ak?,ak?1? k?12ak-2= .
解析：
k?2时，a1?16?,a0?0, 612k?3时,a2?13?,a1?0, 412
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