3.2 导数的计算
1.函数f(x)=(2πx)2的导数是( )
A.f'(x)=4πx B.f'(x)=4π2x C.f'(x)=8π2x
D.f'(x)=16πx
解析:∵f(x)=4π2x2,∴f'(x)=2×4π2x=8π2x. 答案:C 2.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为( A.1
B
解析:f'(x)=2ax,由f'(1)=2知2a=2,∴a=1. 答案:A 3.曲线y=xln x在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=x-1 D.y=x+1
解析:∵y=xln x,
∴y'=ln x+1,则切线斜率k=y'|x=1=1. ∴切线方程为y=x-1. 答案:C 4.下列结论不正确的是( ) A.若y=3,则y'=0 B.若f(x)=3x+1,则f'(1)=3
课时过关·能力提升
基础巩固
) C.若y=
D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x
解析:利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.
D项,∵y=sin x+cos x,
∴y'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x. 答案:D 5.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等 A B C∈Z) D∈Z)∈Z)
解析:y'=cos x,yx0x0=2kπ∈Z),y0x0=2kπ∈Z),y0= 答案:D 6.已知f(x)=x2+ex,则f'(0)= ;[f(1)]'= . 解析:∵f'(x)=2x+ex,∴f'(0)=1.
∵f(1)=1+e,∴[f(1)]'=0. 答案:1 0
7.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为 . 答案: 8.在曲线y
解析:设点P(x0,y0),∵y'
∴tan 135°=-1=- 答案:(2,1) 9.曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为 ,切线的方程为 . 解析:∵y'=(ln x)'y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为k
∴切线方程为y-1x-ey=0. 答案: 10.求下列函数的导数: (1)y=sin x-x+1; (2)y=-2ex·x3; (3)y
解:(1)y'=(sin x-x+1)'=cos x-1.
(2)y'=(-2ex·x3)'=(-2ex)'x3+(-2ex)·(x3)'=-2x3ex-6x2ex. (3)y' 2 2.
11.已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?若存在,求出此公共点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:不存在.理由如下:设y=sin x,y=cos x这两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),
则这两条曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=cos x0,k2=-sin x0.
若使两条切线互相垂直,必须有cos x0·(-sin x0)=-1,即cos x0·sin x0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以不存在公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.
能力提升
1.当函数y A.a C.-a 解析:y'
x0=±a. 答案:B 2.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为
( )
B.±a D.a2
新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章导数及其应用3-2
