人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结
一、相关概念及定义
b，c是常数，a?0）的函数，1 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （2）a，二、二次函数各种形式之间的变换
21二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
b4ac?b2h??，k?.
2a4a2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；
③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c. 三、二次函数解析式的表示方法
1 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
1 五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
c?、以及?0，c?关于对称轴对称一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，220?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，对称轴对称的点）.
2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
五、二次函数y?ax2的性质
a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 y轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小a?0 ?0，0? ?0，0? a?0 向下 y轴 值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 六、二次函数y?ax2?c的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 ?0，c? y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 ?0，c? y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 七、二次函数y?a?x?h?的性质：
a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，0? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，0? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 八、二次函数y?a?x?h??k的性质
a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，k? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，k? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 九、抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1 a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??b.特别地，y轴记作直线x?0. 2ab4ac?b2（?，）3顶点坐标：
2a4a4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 十、抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系 1 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的
大小决定开口的大小． 2一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2ab当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
2ab当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2ab当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
当b?0时，?总结： 3常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
b4ac?b2b?4ac?b2?（?，）1公式法：y?ax?bx?c?a?x???，∴顶点是，
2a4a2a?4a?b对称轴是直线x??.
2a22配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.
3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
222顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
3交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?.
十三、直线与抛物线的交点
1y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).
2与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c).
3抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. 4平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标
相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.
5 一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G?n?y?kx的交点，由方程组 ?的解的数目来确定：①方程组有两组不同的2y?ax?b?xc?解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.
6抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aa24cb2?4ac??b?AB?x1?x2??x1?x2???x1?x2??4x1x2???????
aaaa??十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1关于x轴对称
222?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c； y?a2x?bxy?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
222关于y轴对称
?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； y?a2x?bxy?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
223关于原点对称
?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c； y?a2x?bx22ky??a?x?h??k； y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是
4关于顶点对称
b2?关于顶点对称后，得到的解析式是c y?ax?bx； y??ax?bx?c?2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
22n?对称 5关于点?m，y?a?x?h??k22n?对称后，得到的解析式是关于点?m，y??a?x?h?2m??2n?k
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发
生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十五、二次函数图象的平移 1.平移步骤：
2⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k2平移规律
在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字 “左加右减，上加下减”．
十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 1.三点式。
（1）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点总结
