《风险管理与控制》复习题
（注意：第一题收益分布是两点分布，用下面解法，如果收益分布为连续分布，用课本解法，总之，结合两个定义，1、VaR是给定置信水平下，某一金融资产或证券投资组合在未来特定时间内的最大损失额，2、期望尾损：即在某尾部概率区间的期望损失）
一、假设两项投资中的任何一项都有%的可能触发损失5亿美元，而有%的可能触发损失1亿美元，并且有正收益的概率为0，这两项投资相互独立。
（a）对应于 99%的置信水平，任意一项投资的VaR是多少？
因为任何一项投资有%得可能出发损失1亿美元，有%得可能触发损失5亿美元，而99%<%，则在90%的把握下，损失最大为1亿美元，即VaR=1亿美元。
（b）选定99%的置信水平，任意一项投资的预期损失是多少？
在1%的尾部分布中，有%的概率损失为1亿美元，有%的概率损失为5亿美元，即在1%的尾部分布范围内，有10%的概率损失为1亿美元，90%的概率损失为五亿美元，预期亏损为×1+×5=亿美元。
（c）将两项投资叠加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是多少？
将两项投资叠加产生一个投资组合，则组合有×=，即%的概率损失5+5=10亿美元；有2××=，即%的概率损失1+5=6亿美元；有×=，即%的概率损失1+1=2亿美元。
因为%<99%<%+%，所以组合的VaR=6亿美元。
（d）将两项投资叠加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的期望尾损是多少？
将两项投资叠加产生一个投资组合，在1%的尾部分布中，有%概率损失为1100万美元，即在1%的尾部分布的范围内，预期亏损为（1）×10+（1）×6=亿美元。
（e）请详细说明此例的VaR和期望尾损各自是否满足次可加性？
单笔投资所对应的VaR的和为2亿美元，组合的VaR为6亿美元，由于2<6，这违反了次可加性。
单笔投资所对应的预期亏损的和为×2=亿美元，组合的预期亏损为亿美元，>，则满足次可加性。
二、说明风险测度的一致性，并举例说明VaR不满足一致性。 （一）风险测度的一致性
Artzner et al.（1999）分析了风险测度应该有的性质,并假定自然状态的数量是有限的。该风险测度m(.)可以用于任意市场价值为随机变量X的投资组合，由此得到风险值m(X)。如果一个风险测度满足以下四个公理，则把它称为一致的：
1.次可加性：对于任何投资组合收益X和Y，有m(X+Y)<=m(X)+m(Y) 2.齐次性：对于任何数字a>0,m(aX)= am(X) 3.单调性：如果X>=Y，m(X)>=m(Y)
4.无风险条件：对于任何常数k，m(X+k)=m(X)+k
（二）VaR满足齐次性、单调性和无风险条件，但是不满足次可加性。因此不满足一致
性。在对各业务单元（例如交易柜台或部门）的风险测试汇总的时候，这是一个潜在的严重的局限性，因为次可加性的缺失意味着分散化并不能降低风险。例如，假设X和Y是独立同分布的两项贷款的回收额，其中每一项都以的概率偿还本金100，否则违约而且回收额为0，如果我们的风险测度m(.)是置信水平99%下的VaR,那么m(X)=m(Y)=0,因为损失的概率在VaR度量的”雷达区之外”，VaR只能捕获到发生概率至少为的损失。另一方面，设想一项投资组合由这两项贷款的各50%组成，我们得到m(X/2+Y/2)＝50，因为至少一种债券违约的概率正好超过1%，两个都违约的概率小于1%，因此，作为风险测度方法，VaR并不支持资产分散化以降低风险的传统认识。
ì?0.01t?[0,0.5]三、假定面值为$100的一年期的债券违约强度为l(t)=?，求债í???0.02t?[0.5,1]券在一年内违约的概率，若该债券的实际期望收益率为8%，求该债券的当前价
格。
解:债券生存一年的概率是 =
则债券在一年内违约的概率为1-P(t)= 100×=X×(1+ 其中X=
该债券的当前价格为元。
四、若当前的的资产负债比例为10：1，债务价值保持不变，资产价值变化过程服从以下模型
dAt=0.04dt+0.1dBt t（一）求当前违约距离；
由Black-Scholes-Merton模型（）
u-y= σ=
违约距离为：
（二）设违约边界是公司的债务价值，运用首次通过模型计算从当前开始在三年内违约的概率。
由
且漂移系数
=
得：P(t,t+3)=H(Xt, 3)=N(
=N
=
?1
违约概率
)
e-7N()
e-7Ne-7
p?1?p(t,t?3)?0
五、在带有跳跃的强度模型中，已知跳跃之间的违约强度满足
dl(t)=0.4[0.01-l(t)] tJ=6 ，求时刻2到3之间违约的概率。
由得
求得生存概率p(2,3)= 违约概率p?1?p(2,3)=
六、在带有跳跃的强度模型中，已知跳跃之间的风险中性违约强度满足
dl*(t)=0.5?[0.002l*(t)]， *l(t)假设跳跃过程为复合泊松过程，风险中性跳跃强度为c*=，风险中性跳跃幅度数学期望为J=5，求时刻2到3之间违约的概率。
跳跃之间的违约强度
满足方程
其中k=, ?=, ?(0)= 得
?*(0)?0.002?ce?0.5t=0.001求得c=0.001
则?*(t)?0.002?0.001e?0.5*t 因为强度
，条约规模的平均值J=5
所以2生存到3的概率表示为
)]
带入可求得生存概率P(2,3)= 相应的违约概率=
ln(1+
七、若债务价值保持当前的水平不变，资产价值变化过程服从以下模型
dAt=(m-g)dt+sdBt ， At（一）求从时刻t到T之间的实际违约违约概率和风险中性违约概率。 公司资产为At满足
到违约的距离为
漂移系数
其中，表示资产的平均收益率，r表示现金股利支付率，实际违约概率是
：
其中m*?(r????2/2)/?，r为无违约利率，?为现金股利支付率，?为波动性参数。
（二）证明（）
由于正态分布函数 N(x)是可逆函数且
1由○
知
得所以
：
风险管理与控制复习
