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第4章 功和能
4-1 如图,质量为m的小球由长为l的轻质细绳悬挂在天花板上O点,求小球沿圆弧从最低位置
a运动到细绳与竖直方向夹角为?0的过程中重力mg所做的功。(不考虑空气阻力)。
rrrrrr解 方法一,建立如解用图1所示的直角坐标系,重力G??mgj,位移dr?dxi?dyj rrrrr dW?G?dr?(?mgj)?(dxi?dyj)??mgdy
细绳与竖直方向夹角为?0 W??dW???mgdy??mgy??mgl(1?cos?0)
0*方法二,如解用图
y2 ,设质点位置与竖直方向夹角为?,重力G与位移dr的夹角为(
rrπ??) 2rrπdW?G?dr?mgcos(??)ds??mgsin?ds
2式中ds是位移dr所对应的圆弧,ds?ld?,细绳与竖直方向夹角为?0
rW??dW???mglsin?d?=?mgl(1?cos?0)
0?0
4-2 如图,一根长为l,质量为M的匀质木杆,其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位
习题4-1图
习题4-1解用图1
习题4-1解用图2 ?,.
r置。现将细杆在拉力F的作用下,缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成?0角的位置。求在此过程中
重力矩所作的功(不考虑空气阻力)。 lM??mgsin?
2?0?0ll重力矩做的功 W??Md????mgsin?d???mg(1?cos?0)
0022解 如图,设刚体与竖直方向夹角为?,此时重力矩
4-3 质量为5kg的质点在变力F的作用下沿空间曲线运动,其位矢
习题4-2图
习题4-2解用图 rrrrrr3422?。求力F的功率。 r???(2t?t)i?(3t?t+8)j?12tk?mrrrrdr23解 ??=?(6t?1)i?(12t?2t)j?24tk?m/s
??dtrrrrrrd?r2 F?ma?m???60ti?(180t?10)j?120k?N
?dt
rrP?F???(2160t5-120t3+2960t)W
4-4 质量m?2 kg的质点在力作用下沿x轴运动,其运动方程为x?t?t3m,求力在最初2.0秒内所做的功。
解 方法一
??dW?Pdt?F?dt
,.
d2xdx2 a?2?6t m/s2 F?ma?12t N ????1?3t?m/sdtdt力在最初2.0秒内所做的功
W??F?dt??12t(1?3t2)dt?168J
02方法二 ??应用动能定理
dx??1?3t2?m/s,?(1)?1 m/s,?(2)?13 m/s dtW?1122m?(2)?m?(1)?168J 224-5 质量为m?10kg的物体沿x轴无摩擦地运动,设t果物体在沿着x轴方向的作用力F速度各为多少?
解 力F在3米内做的功 W?0时,物体位于原点,速率为零。如
计算物体处于3米处的速度和加??3?4x?N的作用下运动了3米,
??Fdx??(3?4x)dx?27J
0033根据质点的动能定理
2W12?2.32m/s m??0?W得 ??m2质点处于3米处的力F 4-6 质量为
?15N,加速度 a?mF15?m/s2?1.5m/s2 m10的物体在阻尼介质中以低速作直线运动时,阻力近似为速度的线性函数
f??km?,式中k是正常数。试证明物体以初速度?0开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等
于物体损失的动能。
证 物体开始时速度为?0后来静止,则在此过程中损失的动能 阻尼力所做的功 由牛顿第二定律得
x0x0?Ek?0?m?02??m?02
1212W??fdx???mk?dx
00d?d?dxd??m 或 dx?? dtdxdtk012代入功的表达式积分得 W??m?d???m?0???Ek
?02
?mk??m 4-7 质量分布均匀的柔软绳子,一部分置于光滑水平桌面,另一部分子沿桌边下垂,绳全长为错误!未找到引用源。。开始时下垂部分为错误!未找到引用源。,绳初速度为零,试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度(设绳不伸长)。
解 以整个绳子为研究对象,下垂部分为错误!未找到引用源。时,绳子所受合力为
myg错误!未L