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第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数
y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来,○
并利用函数的性质找出零点.
4、基本初等函数的零点:
①正比例函数y?kx(k?0)仅有一个零点。
k(k?0)没有零点。 x③一次函数y?kx?b(k?0)仅有一个零点。
2④二次函数y?ax?bx?c(a?0).
②反比例函数y?(1)△>0,方程ax?bx?c?0(a?0)有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax?bx?c?0(a?0)有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax?bx?c?0(a?0)无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
⑤指数函数y?a(a?0,且a?1)没有零点。
x222⑥对数函数y?logax(a?0,且a?1)仅有一个零点1.
⑦幂函数y?x,当n?0时,仅有一个零点0,当n?0时,没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把f?x?转化成
?f?x??0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2(基本初等函数),这另
个函数图像的交点个数就是函数f?x?零点的个数。
6、选择题判断区间?a,b?上是否含有零点,只需满足f?a?f?b??0。
7、确定零点在某区间?a,b?个数是唯一的条件是:①f?x?在区间上连续,且f?a?f?b??0②在区间?a,b?上单调。
8、函数零点的性质:
从“数”的角度看:即是使f(x)?0的实数;
精品
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从“形”的角度看:即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;
若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点; 若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.
9、二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)?f(b)?0的函数
y?f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
10、给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤: (1)确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精度?; (2)求区间(a,b)的中点x1; (3)计算f(x1):
①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
②若f(a)?f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0?(a,x1)); ③若f(x1)?f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0?(x1,b));
(4)判断是否达到精度?;即若|a?b|??,则得到零点值a(或b);否则重复步骤(2)~(4). 11、二分法的条件f(a)·f(b)?0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
12、解决应用题的一般程序:
① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论;
④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.
13、函数的模型
收集数据 画散点图 不符合实际选择函数模型 求函数模型 检验 精品 符合实际 用函数模型解释实际问题 .
14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型:f(x)?kx?b(k?0); 二次函数模型:g(x)?ax?bx?c(a?0); 幂函数模型:h(x)?ax?b(a?0);
指数函数模型:l(x)?ab?c(a?0,b>0,b?1)
x212利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型
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高中数学必修一第三章知识点总结
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