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第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数
y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，○
并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数y?kx(k?0)仅有一个零点。
k(k?0)没有零点。 x③一次函数y?kx?b(k?0)仅有一个零点。
2④二次函数y?ax?bx?c(a?0)．
②反比例函数y?（1）△＞０，方程ax?bx?c?0(a?0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax?bx?c?0(a?0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程ax?bx?c?0(a?0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数y?a(a?0,且a?1)没有零点。
x222⑥对数函数y?logax(a?0,且a?1)仅有一个零点1.
⑦幂函数y?x，当n?0时，仅有一个零点0，当n?0时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把f?x?转化成
?f?x??0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数），这另
个函数图像的交点个数就是函数f?x?零点的个数。
6、选择题判断区间?a,b?上是否含有零点，只需满足f?a?f?b??0。
7、确定零点在某区间?a,b?个数是唯一的条件是:①f?x?在区间上连续，且f?a?f?b??0②在区间?a,b?上单调。
8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使f(x)?0的实数；
精品
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从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； 若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
9、二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)?f(b)?0的函数
y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： （1）确定区间[a，b]，验证f(a)?f(b)?0，给定精度?； （2）求区间(a，b)的中点x1； （3）计算f(x1)：
①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)?f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0?(a,x1)）； ③若f(x1)?f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0?(x1,b)）；
（4）判断是否达到精度?；即若|a?b|??，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）． 11、二分法的条件f(a)·f(b)?0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
12、解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
13、函数的模型
收集数据 画散点图 不符合实际选择函数模型 求函数模型 检验 精品 符合实际 用函数模型解释实际问题 .
14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：f(x)?kx?b(k?0); 二次函数模型：g(x)?ax?bx?c(a?0); 幂函数模型：h(x)?ax?b(a?0);
指数函数模型：l(x)?ab?c（a?0,b＞0，b?1）
x212利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型
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高中数学必修一第三章知识点总结
