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2020江苏高考数学模拟考试
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． ．．．．．．．．．1．若函数y?cos(?x??3)(??0)的最小正周期是?，则?? ▲ ．
2．若复数(1?2i)(1?ai)是纯虚数，则实数a的值是 ▲ ．
3．已知平面向量a?(1,?1)，b?(x?2,1)，且a?b，则实数x? ▲ ．
4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回地取球，每次随．．．
机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ．
开始 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：
（1）如果平面?与平面?相交，那么平面?内所有的直线都与平面?相
交
（2）如果平面?⊥平面?，那么平面?内所有直线都垂直于平面? （3）如果平面?⊥平面?，那么平面?内与它们的交线不垂直的直线与
平面?也不垂直
（4）如果平面?不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于
平面?
真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ．．．
S?0k?1 k?2011 否 是 S?S?1 k(k?1)输出S 结束 k?k?1（第5题）
x2y27．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率
ab为 ▲ ．
8．已知二次函数f(x)?ax?4x?c?1的值域是[1,??)，则
32219?的最小值是 ▲ ． ac9．设函数f(x)??x?3x?2，若不等式f(3?2sin?)?m?3m对任意??R恒成立，则实数m的
取值范围为 ▲ ．
?2x?y?4n?m?10．若动点P(m,n)在不等式组?x?0表示的平面区域内部及其边界上运动，则t?的取值范
m?1?y?0?围是 ▲ ．
11．在?ABC中，AB边上的中线CO?2，若动点P满足AP?则(PA?PB)?PC的最小值是 ▲ ．
12．设D是函数y?f(x)定义域内的一个区间，若存在x0?D，使f(x0)??x0，则称x0是f(x)的
一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在次不动点．若函数f(x)?ax?3x?a?上存在次不动点，则实数a的取值范围是 ▲ ．
212sin??AB?cos2??AC(??R)，25在区间[1,4]2.
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13．将所有的奇数排列如右表，其中第i行第j个数表示为aij，例如a32?9．若
aij?445，则i?j? ▲ ．
14．若实数a,b,c成等差数列，点P(?1,0)在动直线ax?by?c?0上的射影为
1 3 5 7 9 11 ……
（第12题）
M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，且2acosB?ccosB?bcosC．
（1）求角B的大小；
?（2）设向量m?(cosA,cos2A)，n?(12,?5)，求当m?n取最大值时，tan(A?)的值．
4已知△
16．（本小题满分14分）
如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，?BAD??ADC?90?，
AB?2AD，CD?AD．
（1）求证：?B1CB是二面角B1?AC?B的平面角；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．
17．（本小题满分14分）
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m元，根据
市场调研，得知m的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时． （1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
18．（本小题满分16分）
已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M(2,1)，离心率为线l交椭圆C于不同的两点A,B．
（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；
（2）证明：直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形．
.
A1 D1
A D
C C1
B1
B
3．如图，平行于OM的直2精品文档
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?（1）求
12ax?(2a?1)x?2lnx，其中常数a?0． 2f(x)的单调区间；
（2）如果函数f(x),H(x),g(x)在公共定义域D上，满足f(x)?H(x)?g(x)，那么就称H(x) 为
52“和谐函数”．设g(x)?x?4x，求证：当2?a?时，在区间(0,2]上，函数f(x)f(x)与g(x)的
2与g(x)的“和谐函数”有无穷多个．
20．（本小题满分16分）
已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有S3??Sn?3成立，求数列{an}的通项公式；
n（2）对任意正整数n，从集合{a1,a2,,an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后
,an一起恰好是1至Sn全体正整数
所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1,a2,组成的集合．
（i）求a1,a2的值；（ii）求数列{an}的通项公式．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4?1：几何证明选讲
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PC?PD，求证：PB平分∠ABD．
B．选修4?2：矩阵与变换
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已知矩阵A??
?12??的一个特征值为?1，求另一个特征值及其对应的一个特征向量． 2x??C．选修4?4：坐标系与参数方程
若直线?值．
D．选修4?5：不等式选讲
若对于一切实数x，不等式|2x?1|?|1?x|?|x|?|2a?1|恒成立，求实数a的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．
字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为X．
（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （2）X的分布列及X的数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知数列{an}中，1?a1?2，an?1?1?an?（1）求证：a3?(?x?t?x?cos?（参数t?R）与圆?（参数??[0,2?)，a为常数）相切，求a的
?y?2?2t?y?sin??a12an(n?N*)． 2113,)； 82（2）求证：当n?3时，|an?2|?
1． n22012江苏高考最后一卷
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试题答案与评分标准
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性． 【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算． 【答案】
1 23．【解析】本题主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】本题主要考查古典概型． 【答案】
4 95．【解析】本题主要考查流程图． 【答案】
2011 20126．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算． 【答案】5 8．【解析】本题主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质． 【答案】(??,?4)(1,??)
10．【解析】本题主要考查线性规划．
【答案】[?,4] 解答如下：
画出可行域（如图所示阴影部分），而t?y 4 23n?mn?1??1，m?1m?1n?1其中表示P(m,n)与点(?1,?1)连线的斜率k，由图可知
m?112k?[,5]，故t?k?1?[?,4]
3311．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积． 【答案】?2 解答如下：
? 1 2 O? 1 x 12sin??AB?cos2??AC?sin2??AO?cos2??AC且sin2?,cos2??[0,1]，所以点P2在线段OC上，故(PA?PB)?PC?2PO?PC，设|PO|?t(t?[0,2])，则
因为AP?(PA?PB)?PC?2t(2?t)?(?1)?2t2?4t，当t?1时取最小值?2
12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．
【答案】(??,] 解答如下：
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51?0．当x?1时，使g(1)??0；222?2x?5x?24x?54x?51h'(x)??0h(x)?当x?1时，解得a?．设，则由，得或x?x?2(x2?1)22(x2?1)2(x2?1)24x?51?（舍去），且h(x)在(1,2)上递增，在(2,4)上递减．因此当x?2时，g(x)最大?，所以a22(x?1)21的取值范围是(??,]．
2由题意，存在x?[1,4]，使g(x)?f(x)?x?ax?2x?a?213．【解析】本题主要考查数列的通项．
【答案】34 解答如下：
2?i?i?444?22可以求得通项aij?i?i?2j?1，所以i?i?2j?1?445且1?j?i，从而?，解得
2i?i?446??i?21，于是j?13，故i?j?34
14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．
【答案】5?2 解答如下：
由题可知动直线ax?by?c?0过定点A(1,?2)．设点M(x,y)，由MP?MA可求得点M的轨迹方程为圆Q:x2?(y?1)2?2，故线段MN长度的最大值为QN?r?5?2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力．
解：（1）由题意，2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB …………………………………… 2分
所以2sinAcosB?sin(B?C)?sin(??A)?sinA. …………………………………… 3分 因为0A，所以sinA0.
所以cosB?因为01. ………………………………………………………………………………… 5分 2，所以B?B?3. ………………………………………………………………… 6分
（2）因为m?n?12cosA?5cos2A …………………………………………………………… 8分
所以m?n??10cosA?12cosA?5??10(cosA?)?所以当cosA?此时sinA?所以tan(A?
16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力． 证明：（1） 直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，?BB1⊥AC．…………………… 2分
又
∠BAD＝∠ADC＝90°，AB?2AD?2CD，
235243……………………………… 10分 53时，m?n取最大值 54（05A），于是tanA?4 …………………………………………… 12分 3?4)?tanA?11? …………………………………………………………… 14分
tanA?17.
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∴?CAB??ABC?45?，∴BC⊥AC．…………………………………………… 5分 ∴AC?平面B1BC，∴AC?B1C
??B1CB是二面角B1?AC?B的平面角．………………………………………… 7分
（2）存在点P，P为A1B1的中点．………………………………………………………… 8分
由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝又∵DC‖AB，DC＝1AB． 21AB，?DC ∥PB1，且DC＝ PB1， 2∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP． ……………………………………… 11分 又CB1?面ACB1，DP
17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．
解：（1）由题意，每小时的燃料费用为0.5x2(0?x?50) ……………………………………… 1分
?面ACB1，?DP‖面ACB1． …………………………… 12分
同理，DP‖面BCB1． ………………………………………………………………… 14分
300小时 …………………………………………………… 2分 x300300则从甲地到乙地的运输成本y?0.5x2?，(0?x?50) ?m?xx2m即y?150(x?)，(0?x?50)…………………………………………………………… 6分
x2m（2）y'?150(1?2)…………………………………………………………………………… 8分
x从甲地到乙地所用的时间为
令y'?0，得x?2m（负值舍去） 当x?(0,2m)时，y关于x单调递减
当x?(2m,??)时，y关于x单调递增 ………………………………………………… 9分 所以，当2m?50即1250?m?1600时，x?50时y取最小值 ………………… 11分 当2m?50即1000?m?1250时，x?2m时y取最小值 ……………… 13分
综上所述，若1000?m?1250，则当货轮航行速度为2m海里/小时时，运输成本最少；若
1250?m?1600，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …… 14分
18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．
c3x2y2解：（1）根据e??，可设椭圆方程为2?2?1，
a24bb 将M(2,1)代入可得b2?2，
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x2y2 所以椭圆C的方程为??1………………………………………………………… 4分
821 因此左焦点为(?6,0)，斜率kl?kOM?
2161 所以直线l的方程为y?(x?6)，即y?x? ………………………………… 6分
222 （2）设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2，则k1?y1?1y?1，k2?2 x1?2x2?2 k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)2 ?2
(x1?2)(x2?2) ?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1) （*） …………………………………… 10分
(x1?2)(x2?2)1x?m，A(x1,y1),B(x2,y2) 21?y?x?m??2 由?2，得x2?2mx?2m2?4?0 2?x?y?1?2?8 设l:y? 所以，x1?x2??2m，x1x2?2m2?4…………………………………………………… 13分 代入（*）式，得
2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1) k1?k2?
(x1?2)(x2?2)2m2?4?2m2?4m?4m?4? (x1?2)(x2?2)?0 所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形． ………………………………………… 16分
19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力．
2ax2?(2a?1)x?2(x?2)(ax?1)解：（1）f'(x)?ax?(2a?1)x?? (x?0，常数a?0） ?xxx1 令f'(x)?0，则x1?2，x2? ……………………………………………………… 2分
a11①当0?a?时，?2，
2a.
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在区间(0,2)和(,??)上，f?(x)?0；在区间(2,)上f?(x)?0，
1a1a
11
f(x)的单调递增区间是(0,2)和(,??)，单调递减区间是(2,)…………………… 4分
aa2(x?2)1②当a?时，f?(x)?， 故f(x)的单调递增区间是(0,??)…………………… 5分
2x211③当a?时，0??2，
a211在区间(0,)和(2,??)上，f?(x)?0；在区间(,2)上f?(x)?0，
aa11故f(x)的单调递增区间是(0,)和(2,??)，单调递减区间是(,2)………………… 7分
aa
故
（2）令h(x)?g(x)?f(x)?(1?1a)x2?(2a?3)x?2lnx，x?(0,2] 22(2?a)x2?(2a?3)x?2(x?2)[(2?a)x?1] h'(x)?(2?a)x?2a?3???xxx1令h'(x)?0，则x1?2，x2? ………………………………………………………… 10分
a?25因为2?a?，所以x2?x1，且2?a?0
2从而在区间(0,2]上，h'(x)?0，即h(x)在(0,2]上单调递减 …………………………… 12分 所以h(x)min?h(2)?2a?2?2ln2 ………………………………………………………… 13分
又2?a?5，所以2a?2?2ln2?2?2ln2?0，即h(x)min?0 ………………………… 15分 2设H(x)?f(x)?(2?2ln2)?（0???1)，则f(x)?H(x)?g(x)
所以在区间(0,2]上，函数f(x)与g(x)的“和谐函数”有无穷多个 …………………… 16分
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