*欧阳光明*创编 2024.03.07
点到直线的距离公式的七种推导方法
欧阳光明（2024.03.07）
已知点 P(x0,y0)直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)求点P到直线 l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）
一、 定义法
证：根据定义，点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长，如图1，
设点P到直线l的垂线为 l'，垂足为
?l'的方程：
By''Q，由 l?l可知 l的斜率为 PA lQy?y0?B(x?x0)A与l联立方程组
l'x图1B2x0?ABy0?ACA2y0?ABx0?BCQ(,)2222A?BA?B解得交点
二、 函数法
证：点P到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点 Q(x,y)用两点的距离公式有，为了利用条件
Ax?By?C?0上式变形一下，配凑系数处理得：
当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是
d?|Ax0?By0?C|A2?B2
三、不等式法
证：点P到直线 l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线
l的距离。由柯西不等式：
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(A2?B2)[(x?x0)2?(y?y0)2]?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?(Ax0?By0?C)2
当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是
d?|Ax0?By0?C|A2?B2 yPM四、转化法
证：设直线 l的倾斜角为 ?过点P作PM∥
ylQxlyQPMx轴交l于M (x1,y1)显然x1?x0所以
Ax0?CAx?CAx?By0?C?|PM|?|y0?0|?|0|bBB
图2图3y1??0易得∠MPQ＝ ?（图2）或∠MPQ＝180??（图3）
在两种情
1况
?下
|B|都有
A2tan?MPQ?tan??2B22所以
cos?MPQ?1?tan2?A2?B2
五、三角形法 证：P作（图4） 由解法三知
|PM|?|Ax0?By0?CAx?By0?C||PN|?|0|BA；同理得
yPMNPM∥ y轴交l于
M，过点P作PN∥ x轴交l于N
lQx图4在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高 六、参数方程法
?x?x0?tcos?l:?P(x,y)证：过点00作直线 ?y?y0?tsin?交直线l于点Q。(如图1)
'由直线参数方程的几何意义知|t|?|PQ|，将 l'代入 l得
Ax0?Atcos??By0?Btsin??C?0
整理后得
|t|?|Ax0?By0?C|...........(1)?Acos??Bsin?
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当 l'?l时，我们讨论 ?与 l的倾斜角?的关系： 当 ?为锐角时 （当 ?为钝角时 （
tan???A?0,不妨令A>0,B<00B）有??90??（图A?0,不妨令A>0,B>00????90B）有（图
2） 3）
tan???得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
|t|?||Ax0?By0?C||Ax0?By0?C|?22A2B2A?B?|2222A?BA?B
yPQln x图五 七、向量法
证：如图五，设直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)的一个
Bn?(1,)A，Q法向量
直线上任意一点，则PQ?(x1?x0,y1?y0)。从而点
P到直线的距离为：
B(y1?y0)||A(x?x)?B(y?y)||n?PQ|1010Ad???|n|B2A2?B21?2A|Ax1?By1?Ax0?By0||Ax0?By0?C|P点在直线l上,?Ax1?By1?C?0,从而d??22A?BA2?B2|x1?x0?附： 方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为
BARQoydP(x0,y0)（A≠0），根据点斜式写出直
Slx线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d
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2024年点到直线的距离公式的七种推导方法-2
