9.（祥云一中月考理）两个正数a、b的等差中项是双曲线
x2a2?y2b2?1的离心率为 。
9，一个等比中项是25，且a?b,则 2答案：
41 5三、解答题
1. （马鞍山学业水平测试）（本小题满分8分） 设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e?33，且过点P(0,),求这个椭圆的方程.
2232解：∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上且过点P(0,)
∴b?
3
………………………………………………………………………………3分 2
3c2a2?b232又e?，∴e?2??，∴a2?9……………………………6分 242aax24y2故这个椭圆方程是??1…………………………………………………8分
99
3(1,)2．（池州市七校元旦调研）已知，椭圆C过点A2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
(2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数， 证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 解：
1932??1b??224（舍去） 4b2（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为1?b，解得b?3，x2y2??143所以椭圆方程为。 ……………4分 x2y23??1y?k(x?1)?32，代入4（Ⅱ）设直线AE方程为：得
3(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?4(?k)2?12?02
3A(1,)E(xE,yE)F(xF,yF)2在椭圆上，所以 设,,因为点
34(?k)2?123y?kx??kxF?2EE223?4k ;
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
34(?k)2?123y??kx??kxF?2EE23?4k2;
KEF?yF?yE?k(xF?xE)?2k1??xF?xExF?xE2所以直线EF的斜率
.
3．（肥城市第二次联考）(本小题满分12分)
x2y2如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离 abyMxoBF2N3心率e＝，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的 2直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
AF1uuuruuur(Ⅱ) 设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足PA?AB?m?4，（m?R）试求点P的轨
迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上. 解：(Ⅰ)∵MF2?x轴，∴|MF2|?∵|MF1|?(2c)?22
11,由椭圆的定义得：|MF1|??2a，------1分 221， 41212∴(2a?)?4c?，-----------------------------------3分
24又e?2332222得c?a ∴4a?2a?3a, Qa?0 ?a?2 2422∴b?a?c?12a?1，-------------------------------4分 4x2?y2?1．-----------------------------------5分 ∴所求椭圆C的方程为4(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为(x,y)
uuuruuur则PA?(?2?x,?y)，AB?(2,?1),
uuuruuur由PA?AB?m－4得－4?2x?y?m?4，
∴点P的轨迹方程为y?2x?m------------------------------------7分 设点B关于P的轨迹的对称点为B'(x0,y0)，则由轴对称的性质可得：解得：x0?y0?1x1y?1??,0?2?0?m， x0222?4?4m2m?3，------------------------------9分 ,y0?55?4?4m22m?32∵点B'(x0,y0)在椭圆上，∴ ()?4()?4，整理得2m2?m?3?0解得m??1或
553m?
23∴点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?，-------------------------------------------11分
23经检验y?2x?1和y?2x?都符合题设，
23∴满足条件的点P的轨迹方程为y?2x?1或y?2x?．----------------12分
2
4. （马鞍山学业水平测试）（本小题满分10分）
已知椭圆C：
x2a2?y2b2短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，?1(a?b?0)的长、
恰好通过椭圆的左焦点F1，且向量AB与OM共线．
(Ⅰ)求椭圆的离心率e；
(Ⅱ)若x??4是椭圆C的一条准线，求椭圆C的方程. 解：(Ⅰ)∵F1(?c,0),则xM??c,yM∵kABb2b2，∴kOM??．……………………………2分 ?aacbb2b2．……………4分 ??,OM与AB是共线向量，∴???，∴b=c,故e?2aaca2a， 2(Ⅱ) 由b?c?c?a2又x??4???a2?4c?22a?a?22,b?2，…………………………8分
cx2y2所以椭圆C的方程为??1…………………………………………………………10分
8425. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，设抛物线C1:y?4mx(m?0)的准线与x轴
交于F1，焦点为F2；以F1,F2为焦点，离心率e?1的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P，延2长PF2交抛物线于点Q，M是抛物线C1上一动点，且M在P与Q之间运动.
（1）当m?1时，求椭圆C2的方程；
（2）当?PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求?MPQ面积的最大值．
解：（1）当m?1时， y?4x，则F1(?1,0),F2(1,0)
2x2y2c12设椭圆方程为2?2?1(a?b?0），则c?1,又e??，所以a?2,b?3
aba2x2y2??1 …………4? 所以椭圆C2方程为43x2y2c122?2?1 （2）因为c?m，e??，则a?2m，b?3m，设椭圆方程为24m3ma2?x2y2??1?22由?4m23m2，得3x?16mx?12m?0 …………6? ?y2?4mx?即(x?6m)(3x?2m)?0，得xP?2m26m262m,) m，代入抛物线方程得yp?即P(3333PF2?xp?m?5m5m7m6m,PF1?2a?PF2?4m??,F1F2?2m?， 3333因为?PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，所以m?3 …………8?
2此时抛物线方程为y?12x，P(2,26)，直线PQ方程为：y??26(x?3).
??y??26(x?3)2联立?，得2x?13x?18?0，即(x?2)(2x?9)?0，
2??y?12x所以xQ?∴PQ?99，代入抛物线方程得yQ??36，即Q(,?36) 22925(2?)2?(26?36)2?.
22t2设M(,t)到直线PQ的距离为d ，t?(?36,26)
1262t?t?66624?1则d??66275(t?)? …………10? 3022当t??667556??时，dmax?，
23024125561256???. …………12? 22416即?MPQ面积的最大值为
6. （玉溪一中期中）（本小题12分）已知A,B,C是长轴长为4
y的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中
CAQxuuuruuuruuuruuur心O，且AC?BC?0，|BC|?2|AC|，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
OBPuuuruuur（Ⅱ）如果椭圆上的两点P,Q使?PCQ的平分线垂直于OA，是否总存在实数λ，使得PQ?λAB？
请说明理由；
. 解： （1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，
x2y2?2?1，不妨设C在x轴上方， 设椭圆方程为
4buuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur|BC|?2|AC|?2|OC|?|AC|?|OC|， 由椭圆的对称性， 又AC?BC?0?AC?OC，即ΔOCA为等腰直角三角形， 由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：b2?4， 3x23y2??1； 即，椭圆方程为44uuuruuur（2）假设总存在实数λ，使得PQ?λAB，即AB//PQ，
2013届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题(8)
