设直线l':x?y?1?0 则由35|t?2|2?,解得t??或t??
2242
69.（2009年上海卷理）（本题满分16分）
vx22?y?1,设过点A(?32,0)的直线l的方向向量e?(1,k) 已知双曲线c:2（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； （2） 证明：当k>
2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6。 2（1）解 双曲线C的渐近线m:x?2y?0............2分 2? 直线l的方程x?2y?32?0
? 直线l与m的距离d?32?6 1?2（2）证明 方法一设过原点且平行与l的直线b:kx?y?0
则直线l与b的距离d?32k1?k2 当k?2时，d?6 2又双曲线C的渐近线为x?2y?0
?双曲线C的右支在直线b的右下方，
?双曲线C右支上的任意点到直线l的距离为6。
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6。 （2）方法二 双曲线C的右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为6，
?kx0?y0?32??6,(1)2则? 1?k??x0?2y0?2,(2)由（1）得y0?kx0?32k?6g1?k，
2设t?32k?6g1?k2
当k?2，t?32k?6g1?k2?0 2222将y0?kx0?t 代入（2）得(1?2k)x0?4ktx0?2(t?1)?0 （*）
Qk?2,t?0,?1?2k2?0,?4kt?0,?2(t2?1)?0 2?方程（*）不存在正根，即假设不成立
故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为6 70.（2009上海卷文）（本题满分16分） 已知双曲线
C的中心是原点，右焦点为
0?，一条渐近线m:x+F?3，2y?0,设过点A(?32,0)的v直线l的方向向量e?(1,k)。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若过原点的直线a//l，且a与l的距离为6，求K的值； （3） 证明：当k?2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6. 222（1）解 设双曲线C的方程为x?2y??(??0)
x2?y2?1 ????3，解得??2，双曲线C的方程为22?（2）解 直线l:kx?y?32k?0，直线a:kx?y?0 由题意，得|32k|1?k2?6，解得k??2 2（3）证明 方法一 设过原点且平行于l的直线b:kx?y?0 则直线l与b的距离d?32|k|1?k2,当k?2时，d?6 2又双曲线C的渐近线为x?2y?0
? 双曲线C的右支在直线b的右下方，
? 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6。
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6
（3）方法二 假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为6，
?|kx0?y0?32k?6(1)?2则? 1?k?22(2)?x0?2y0?2由（1）得y0?kx0?32k?6?1?k2 设t?32k?6?1?k2， 当k?2时，t?32k?6?1?k2?0； 22t?32k?6?1?k?6?2k2?13k?1?k22?0
222将y0?kx0?t代入（2）得(1?2k)x0?4ktx0?2(t?1)?0
Qk?2,t?0， 2?1?2k2?0,?4kt?0,?2(t2?1)?0 ?方程(*)不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6
71.（2009重庆卷理）（本小题满分12分） 已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y?433，离心率e?，M是椭圆上的动点． 32（Ⅰ）若C,D的坐标分别是(0,?3),(0,3)，求MCgMD的最大值；
（Ⅱ）如题图，点A的坐标为(1,0)，B是圆x?y?1上的点，是点M在x轴上的射影，点Q满足条
22uuuruuuuruuuruuuruuur件：OQ?OM?ON，QAgBA?0．求线段QB的中点P的轨迹方程；
x2y2解 （Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为2?2?1（a ＞b＞ 0 ）.
ab 设c?a2?b2，由准线方程y?433c3得.由e?得?，解得 a = 2 ,c = 3，从而 b = 1，32a2y2?1 . 椭圆方程为x?42y2?1的焦点，所以,MC?MD?2a?4 又易知C，D两点是椭圆x?42 从而MC?MD?(MC?MD2)?22?4，当且仅当MC?MD，
2即点M的坐标为(?1,0)时上式取等号，MC?MD的最大值为4 .
（II）如图（20）图，设M(xm,ym),B(xB,yB)
uuuuruuuruuurQ(xQ,yQ).因为N(xN,0),OM?ON?OQ，故
xQ?2xN,yQ?yM,
xQ?yQ?(2xM)?y?4 ①
222yuuuruuur 因为QA?BA?0,
(1?xQ?yQ)?(1?xN?yn)?(1?xQ)(1?xN)?yQyN?0,
所以 xQxN?yQyN?xN?xQ?1. ② 记P点的坐标为(xP,yP)，因为P是BQ的中点 所以 2xP?xQ?xP,2yP?yQ?yP
22由因为 xN?yN?1，结合①，②得
122xP?yP?((xQ?xN)2?(yQ?yN)2)
412222?(xQ?xN?yQ?yn?2(xQxN?yQyN)) 41 ?(5?2(xQ?xN?1))
43??xP 4122故动点P的估计方程为(x?)?y?1
272.（2009重庆卷文）（本小题满分12分） 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x?（Ⅰ）求该双曲线的方程；
22（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(?5,0)，B是圆x?(y?5)?1上的点，点M在双曲线右支
5，离心率e?5． 5上，求MA?MB的最小值，并求此时M点的坐标；
x2y2解 （Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为2?2?1(a?0,b?0)，
ab5a25c?设c?a?b，由准线方程为x?得，由e?5得?5 解得a?1,c?5 从
5c5a22y2?1. 而b?2，?该双曲线的方程为x?42（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，|MA|?|MD|?2a?2
22所以|MA|?|MB|?2?|MB|?|MD|≥2?|BD| ，QB是圆x?(y?5)?1上的点，其圆心为
C(0,5)，半径为1，故|BD|≥|CD|?1?10?1
2013届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题(8)
