?y?k(x?4),?2222由?x2y2得(1?2k)x?16kx?32k?8?0. ……①
?1??84?由??(16k)?4(1?2k)(32k?8)?0解得?222222?k?. ……② 2216k2因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??，于是
1?2k28k2x1?x24k=?， x0?y?k(x?4)?00221?2k21?2k .
8k2?0，所以点G不可能在y轴的右边， 因为x0??1?2k2又直线F1B2,F1B1方程分别为y?x?2,y??x?2, 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
?2k2?2k?1?0,?4k?y0?x0?2,8k2????2, 亦即 即? ?2??1?2k21?2k2???y0?x0?2.?2k?2k?1?0.4k8k2???2,??1?2k21?2k2解得?3?13?1?k?，此时②也成立. 22故直线l斜率的取值范围是[?3?13?1,]. 2259.（2009福建卷理）（本小题满分13分）
x22已知A,B 分别为曲线C： 2+y=1（y?0,a>0）与x轴
a的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. AB的三等分点，(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧?试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 解 方法一
(Ⅰ)当曲线C为半圆时，a?1,如图，由点T为圆弧?AB的三等分点得∠BOT=60°或120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有SB?AB?tan30??????,?s(t,); ??23)或S(1,23) 3 (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,23),综上, S(1,(Ⅱ)假设存在a(a?0),使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SB为直线的圆上,故BT?OS.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a). ?x22?2?y?1得(1?a2k2)x2?2a2k2x?a4k2?a2?0 由?a?y?k(x?a)?a2k2?a2设点T(xT,yT),?xT?(?a)?,
1?a2k2a?a2k22ak故xT?,从而. y?k(x?a)?TT1?a2k21?a2k2a?a2k22ak亦即T(,).
1?a2k21?a2k2uuur?2a2k22akQB(a,0),?BT?((,)) 221?ak1?a2k2uuur?x?a由?得s(a,2ak),?OS?(a,2ak). ?y?k(x?a)uuuruuur?2a2k2?4a2k22222由BT?OS,可得BT?OS?即?2ak?4ak?0 ?01?a2k2Qk?0,a?0,?a?2 经检验,当a?2时,O,M,S三点共线. 故存在a?2,使得O,M,S三点共线. 方法二: (Ⅰ)同方法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SO为直径的圆上,故SM?BT.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a) ?x22?2?y?1得(1?a2b2)x2?2a2k2x?a2k2?a2?0 由?a?y?k(x?a)?a4k2?a2设点T(xT,yT),则有xT?(?a)?.
1?a2k2a?a2k22aka?a2k22ak故xT?,从而y?k(x?a)?亦即T(?). TTa?a2k21?a2k21?a2k21?a2k2y1QB(a,0),?kBT?T??2,故kSM?a2k
xT?aak?x?a得S(a,2ak),所直线SM的方程为y?2ak?a2k(x?a) 由??y?k(x?a)O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak?a2k(?a).
Qa?0,K?0,?a?2 故存在a?2,使得O,M,S三点共线.
60.（2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分） 已知，椭圆C以过点A（1，（1） 求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率
为定值，并求出这个定值。
3），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2x2y2?2?1。 （Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为21?b4b因为A在椭圆上，所以
19322bb，解得＝3，＝（舍去）。 ??1?221?b4b4x2y2??1． 所以椭圆方程为 43x2y23??1得 （Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得y?k(x?1)?，代入4323（3+4k2）x2+4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0
2设Ｅ（xE，yE），Ｆ（xF，yF）．因为点Ａ（1，
3）在椭圆上， 234(?k)2?12所以xE?2， 23?4k3yE?kxE??k。
2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以?k代k，可得
34(?k)2?12， xF?223?4k3yF??kxF??k。
2所以直线EF的斜率kEF?yF?yE?k(xF?xE)?2k1??。
xF?xExF?xE2即直线EF的斜率为定值，其值为
1。 261.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
OP=λ，求点M的轨迹方程，OM并说明轨迹是什么曲线。
解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得
?a?c?1,解得a?4,c?3， ??a?c?7x2y2??1 所以椭圆C的标准方程为
167（Ⅱ）设M(x,y)，其中x???4,4?。由已知
OPOM22??2及点P在椭圆C上可得
9x2?112??2。 2216(x?y)整理得(16??9)x?16?y?112，其中x???4,4?。
2222（i）??
32时。化简得9y?112 4
所以点M的轨迹方程为y??47(?4?x?4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。 33
（ii）??时，方程变形为
4
x2y2??1，其中x???4,4?
11211216?2?916?2当0???当
3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?4?x?4的部分。 43???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?4?x?4的部分； 4当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；
62.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）
525y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距离为。
25ab（1）求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，
uuuruuur1若AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。
3方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线
ax?by?0的距离为25， 5所以aba2?b2?ab2525?所以 c55?ab25??5?c?a?2??5?c得?b?1 由??2?a?222?c?5?c?a?b???y2?x2?1 所以曲线C的方程是4（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x 设A(m,2m),B（?n,2n),m?0,n?0
uuuruurm-?n2(m+?n)由AP??PB得P点的坐标为（,),
1+?1+?y2(1??)22?x?1,化简得mn=将P点的坐标代入44?
因为?AOB?2?,tan(?14??)?2,tan??,sin2?? 225又OA?5m,OB?5n
111OA?OB?sin2??2mn?(??)?1 22?111记S(?)?(??)?1,??[,2]
2?311则S?(?)?(1?2)
2?所以S?AOB?
2013届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题(8)
