∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
x2y2设其方程为2?2?1(a>b>0)，则a=4，c=2，
ab22xy??1. ∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为
1612……5分
?y=kx+m?(2)由?x2y2消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，
?+=1?1612设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=?8km. 23+4k△1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0. ① ……7分
?y=kx+m?由?x2y2消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0， ??=1?412设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=
2km. 23?k△2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0. ② ……9分
uuuruuurr∵DF?BE?0，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
∴?8km2km41，∴2km=0或， ???22223+4k3?k3+4k3?k解得k=0或m=0， ……11分 当k=0时，由①、②得?23 ∴满足条件的直线共有9条. ……14分 x2y233、（2009聊城一模）已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线l：y=x+2与以原点 3ab为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。 （1）求椭圆C1的方程； （2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直 于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且 满足QR?RS?0， 求|QS|的取值范围。 3b22,得2?1?e?; （2分） 解：（1）由e?33a 由直线l:x?y?2?0与圆x?y?b相切,得22222?|b|.所以,b?2,a?3 x2y2??1. （4分） 所以椭圆的方程是32（2）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1:x??1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y?4x。 （8分） 22y12y2y12,y1),S(,y2),所以QR?(,y1) （3）由（2），知Q（0，0）。设R(4442y2?y12RS?(,y2?y1).42y12(y2?y12)由QR?RS?0,得?y1(y2?y1)?0.1616因为y1?y2,化简得y2??y1???????(10分)y12?y2?y12? 2562562?32?2256?32?64(当且仅当y?,即122y1y1y1??4时等号成立).?????(12分)2y21222?|QS|?()2?y2?(y2?8)2?64,?y2?64. 442所以当y2?64,即y2??8时,|QS|min?85. 故|QS|的取值范围是85.??。 （14分） ??x2y2?1(a?0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，4、（2009东莞一模）设椭圆C:2?a2uuuuruuuur1AF且AF2?F，坐标原点到直线的距离为OOF1． F?01123（1）求椭圆C的方程； （2） 设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F(?1,0)，交y轴于点M，若 MQ?2QF，求直线l的斜率． 解： （Ⅰ）由题设知F1(?a2?2,0),F2(a2?2,0),其中a?2 uuuuruuuuruuuuruuuur22由于AF2?F，则有，所以点的坐标为(a?2,?)……..2分 F?0AF?FFA12212a故AF1所在直线方程为y??(1?)…………3分 aa2?2axa2?2所以坐标原点O到直线AF1的距离为2， a?1a2?212?a?2，解得：a?2.………….5分 又OF1?a?2，所以2a?132x2y2??1.…………7分 所求椭圆的方程为42（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)，则有M(0,k).……9分 uuuuruuur设Q(x1,y1)，由于Q、F、M三点共线，且MQ?2QF. 2?x???x1??2??13根据题意得(x1,y1?k)??2(x1?1,y1),解得?或?.…………12分 ky??k?1?y?1?3?2k(?)2()2(?2)(?k)??1或3?3?1， 又Q在椭圆C上，故424222解得k?0,k??4,综上，直线l的斜率为0或?4 …………14分 x2y25、（2009临沂一模）已知F1,F2是椭圆C: 2?2?1（a>b>0）的左、右焦点，点P(?2,1)在椭圆 abuuuuruuuur上，线段PF2与y轴的交点M满足PM?F2M?0。 （1）求椭圆C的方程。 （2）椭圆C上任一动点M(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。 解：（1）由已知，点P(?2,1)在椭圆上 ∴有 21?2?1 ①┉┉┉┉┉┉┉┉1分 2abuuuuruuuur又QPM?F2M?0，M在y轴上， ∴M为P、F2的中点，┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴?2?c?0,c?222.┉┉┉┉┉┉┉┉3分 ∴由a?b?2， ②┉┉┉┉┉┉┉┉4分 解①②,解得b?2（b??1舍去），∴a?4 222x2y2??1。┉┉┉┉┉┉┉┉6分 故所求椭圆C的方程为42（2）∵点M(x0,y0)关于直线y?2x的对称点为M1(x1,y1)， ?y0?y1?2??1,??x0?x1∴?┉┉┉┉┉┉┉┉8分 ?y0?y1?2?x0?x1.??224y0?3x0?x???15解得?┉┉┉┉┉┉┉┉10分 ?y?3y0?4x01?5?∴3x1?4y1??5x0.┉┉┉┉┉┉┉┉11分 x2y2??1上，∴?2?x0?2,∴?10??5x0?10。 ∵点P(x0,y0)在椭圆C:42即3x1?4y1的取值范围为［－10，10］。┉┉┉┉┉┉┉┉12分 6、（2009江门一模）如图6，抛物线C：y??F1、F2. ⑴求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆方程； ⑵经过坐标原点O的直线 l 与抛物线相交于 12x?1与坐标轴的交点分别为P、 3y P B F1 OF 2 x uuuruuurA、B两点，若AO?2OB，求直线 l 的方程． ⑴由y??A 图12x?1解得P(0 , 1)、F1(?3 , 0)、F2(3 , 0)----------3分 3x2?y2?1----------6分 所以b?1，c?3，从而a?2----------5分，椭圆的方程为4?y?kx12?⑵依题意设 l：y?kx----------7分，由?得x?kx?1?0----------8分 12y??x?13?3??(3k)2?4?1?(?3)?0?2?x?xB??3k依题意得?A----------11分，解得k??----------13分 3?xA?xB??3?xA??3xB?22所以，直线 l 的方程是y?x或y??x----------14分 33x227、（2009青岛一模）已知A,B,C均在椭圆M:2?y?1(a?1)上，直线AB、AC分别过椭圆的 auuuruuuur2FF左右焦点1、2，当AC?F1?AF2?AF1. 1F2?0时，有9AF(Ⅰ)求椭圆M的方程; 2(Ⅱ)设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x??y?2??1的任一条直径，求PE?PF的最大值. 2uuuruuuuruuuruuuur解:(Ⅰ)因为AC?F1F2?0，所以有AC?F1F2 uuuruuuur所以?AF1F2为直角三角形；?AF1cos?F1AF2?AF2…………………………2分 uuuruuuuruuuruuuuruuuur2uuur2uuur2则有9AF1?AF2?9AF1AF2cos?F1AF2?9AF2?AF1?AF1 uuuruuuur所以，AF1?3AF2…………………………3分 uuur3auuuura又AF1?AF2?2a，?AF1?,AF2?………………………4分 22uuur2uuuur2uuuuur2在?AF1F2中有AF1?AF2?F1F2 ?3a??a?22即??????4(a?1)，解得a?2 ?2??2?x2?y2?1…………………………6分 所求椭圆M方程为2 (Ⅱ)PE?PF?NE?NP?NF?NP 222???????NF?NP???NF?NP????NP??NF22?NP?1 2从而将求PE?PF的最大值转化为求NP的最大值…………………………8分 x222P是椭圆M上的任一点，设P?x0,y0?，则有0?y0?1即x0?2?2y0 22
2013届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题(8)
