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6．1.2 类 比
一、基础达标
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适
( )
A．三角形 C．平行四边形 答案 C
2．给出下面四个类比结论
( )
① 实数a，b，若ab＝0则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0， ② 则a＝0或b＝0
②实数a，b，有(a＋b)＝a＋2ab＋b；类比向量a，b，有(a＋b)＝
2
2
2
2
B．梯形 D．矩形
a2＋2a·b＋b2
③实数a，有|a|＝a，类比向量a，有|a|＝a
④实数a，b有a＋b＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b有a＋b＝0，则
2
2
2
2
2
2
2
2
a＝b＝0
其中类比结论正确的命题个数为
( )
A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D
1
3．三角形的面积S＝(a＋b＋c)·r，其中a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理；
2可以得出四面体的体积为
( )
1A．V＝abc
31B．V＝Sh
3
1
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r
31
D．V＝(ab＋bc＋ac)h
3答案 C
4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，
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则a－b＝0?a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出 “若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”． 其中类比得到的结论正确的个数是
( )
A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C
解析 ①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，
b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1>0，但复数a与b不能比较大小．
5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结论为________．
答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．
S△PA1B1PA1·PB1VP－A1B1C1
6．如图(1)有面积关系＝，则图(2)有体积关系＝________.
S△PABPA·PBVP－ABC
答案
PA1·PB1·PC1
PA·PB·PC7．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
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解 在△DEF中(如图)，由正弦定理得 ＝. sin Dsin Esin Fd＝
ef
于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S－ABC中， 我们猜想
S1
sin α
＝1＝成立．
sin α2sin α3
S2S3
二、能力提升
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
2S，类比这个结论可知：a＋b＋c四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( ) A.C.
VS1＋S2＋S3＋S4
B.
2V S1＋S2＋S3＋S4
3V4V D. S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4
答案 C
解析 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分1
别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
3∴r＝
3V. S1＋S2＋S3＋S4
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9．定义：ab，bc，cd，da的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)．
则图中甲、乙运算式可表示为________． 答案 db，ca
AEACEBBC10．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－
BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
答案
AES△ACD＝ EBS△BCD解析 △ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF. ∴
ACS△ACEAE＝＝， BCS△BCEEB类比：在三棱锥A－BCD中，过直线AB作一平面垂直于CD，并交CD于点H，则∠AHB是二面角A－CD－B的平面角，连接EH，则EH是∠AHB的角平分线． ∴
AEAHS△ACD＝＝. EBBHS△BCD11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：
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①通项：an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋)； ③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N＋)； ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假． 解 在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到： ①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N＋)(真命题)； ③若m＋n＝2p，则bm·bn＝bp(m，n，p∈N＋)(真命题)； ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(假命题)．
2
x2y2
12．(1)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别
ab→→22
与y轴交于点M，N，求证：AN·BM为定值b－a.
x2y2
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，Bab→→
的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证AN·BM为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过
程)．
解 (1)证明如下：设点P(x0，y0)(x0≠±a) 依题意，得A(－a,0)，B(a,0) 所以直线PA的方程为y＝令x＝0，得yM＝
y0
x0＋a(x＋a)，
ay0
x0＋a. ay0a2y20
同理得yN＝－，所以yMyN＝22.
x0－aa－x0x2y200
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以2＋2＝1，
abb222a2y202
因此y＝2(a－x0)，所以yMyN＝22＝b.
aa－x0
20
→→
因为AN＝(a，yN)，BM＝(－a，yM)， →→222
所以AN·BM＝－a＋yMyN＝b－a. (2)－(a＋b)． 三、探究与创新
13．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cosα＋cosβ＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
2
2
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2024年高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.2类比分层训练湘教版选修2-2
