22．（8分）（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2
，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积． 【解答】解：（1）BC与⊙O相切． 证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD． 又∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA． ∴∠CAD=∠ODA． ∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
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解得：x=2，即OD=OF=2， ∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD=OB， ∴∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S扇形AOB=
=
，
﹣
=2
﹣
．
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2故阴影部分的面积为2
﹣
．
【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
23．（8分）（2017?枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=． 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
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【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可． 【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数）， ∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x， ∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36， ∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59； （3）F（15）=，F（26）=∵＞＞
＞
＞
，
，F（37）=
，F（48）==，F（59）=
，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
24．（10分）（2017?枣庄）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
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（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （3）本题介绍两种解法：
解法一：分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：
，即
解得：a=
，
b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定
理得：∠HCG=∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC=∠ACB=45°． 解法二：同理得a与b的比，根据a=
b，BE=
BF，得BE=BC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形， ∴AB=BC，BP=BF， ∴AP=CF，
在△APE和△CFE中， ∵
，
∴△APE≌△CFE， ∴EA=EC；
（2）△ACE是直角三角形，理由是： 如图2，∵P为AB的中点， ∴PA=PB， ∵PB=PE， ∴PA=PE， ∴∠PAE=45°， 又∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
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（3）解法一：如图3，设CE交AB于G， ∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a， ∵PE∥CF， ∴解得：a=∴a：b=
，即b， ：1，
，
作GH⊥AC于H， ∵∠CAB=45°， ∴HG=
AG=
（2
b﹣2b）=（2﹣）b，
）b，
又∵BG=2b﹣a=（2﹣
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC， ∴∠HCG=∠BCG， ∵PE∥CF， ∴∠PEG=∠BCG， ∴∠AEC=∠ACB=45°．
解法二：如图4，连接BE， 易得a=∴a：b=∵BE=
b， ：1， BF=
b，
∴BE=a=BC， ∴∠BCE=∠BEC，
∵∠FBE=∠BCE+∠BEC=45°， ∴∠BCE=22.5°，
∴∠AEC=2∠PEC=2∠BCE=45°．
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2017年山东省枣庄市中考数学试卷（含答案）
