高考数学压轴题100道汇编
1．设函数f?x????1,1?x?2，g?x??f?x??ax,x??1,3?，
?x?1,2?x?3其中a?R，记函数g?x?的最大值与最小值的差为h?a?。 （I）求函数h?a?的解析式； （II）画出函数y?h?x?的图象并指出h?x?的最小值。
2．已知函数f(x)?x?ln?1?x?,数列?an?满足0?a1?1,
11an?1?f?an?; 数列?bn?满足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求证:
22an22,则当n≥2时,bn?an?n!. ;（Ⅲ）若a1?（Ⅰ）0?an?1?an?1;（Ⅱ）an?1?22
3．已知定义在R上的函数f(x) 同时满足：
2（1）f(x1?x2)?f(x1?x2)?2f(x1)cos2x2?4asinx2（x1,x2?R，a为常数）；
（2）f(0)?f()?1；（3）当x?［0,??44求：（Ⅰ）函数f(x)的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．
时，f(x)≤2 ］y2x24．设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，
xb满足(x1y1xy3,短轴长为2，0为坐标原点. ,)?(2,2)?0，椭圆的离心率e?2baba （1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
个
个
nn5．已知数列{an}中各项为： 12、1122、111222、……、11??????122??????2 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn .
x2y2+=1的左、右焦点. 6、设F1、F2分别是椭圆54（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，
求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程；
(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由 （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
8、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
9、已知二次函数f(x)?x?2bx?c(b,c?R)满足f(1)?0，且关于x的方程f(x)?x?b?0的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）求实数b的取值范围；
（2）若函数F(x)?logbf(x)在区间（-1-c，1-c）上具有单调性，求实数C的取值范围
10、已知函数f(x)在(?1,1)上有意义,f()??1,且任意的x、y?(?1,1)都有
212f(x)?f(y)?f(2xn1x?y(n?N*),求f(xn). ). （1）若数列{xn}满足x1?,xn?1?221?xy1?xn （2）求1?f()?f(
15111)??f(2)?f()的值. 11n?2n?3n?111.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足①
GA?GB?GC?0 , ②|MA|= |MB|= |MC|③GM∥AB
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（2, 0） ，已知PF∥FQ , RF ∥
FN且PF·RF= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
12．已知?为锐角，且tan??2?1，函数f(x)?x2tan2??x?sin(2???4)，数列{an}的首项
a1?1,an?1?f(an). ⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an?1?an； 2111*1??????2(n?2,n?N) ⑶ 求证：
1?a11?a21?an
13．（本小题满分14分）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1n?N? （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?满足4（Ⅲ）证明：
b1?1??4b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，证明：?an?是等差数列；
11??a2a3?12??n?N?? an?13a23a2x?x?cx?a?0?, 14．已知函数g?x???32（I）当a?1时，若函数g（II）当a??x?在区间??1,1?上是增函数，求实数c的取值范围；
31/时，（1）求证：对任意的x??0,1?，g?x??1的充要条件是c?；
42/（2）若关于x的实系数方程g?x??0有两个实根?,?，求证：??1,且??1的充要条件是
1??c?a2?a. 4
n(1?n)15．已知数列{a n}前n项的和为S n，前n项的积为Tn，且满足Tn?2。
①求a1 ；②求证：数列{a ③是否存在常数a，使得?Sn?1?a???Sn?2?a??Sn?a?n}是等比数列；对n?N都成立？ 若存在，求出a，若不存在，说明理由。
16、已知函数y?f(x)是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的m、n?[0,??)，都有f(mn)?[f(m)]，且f(2)?4，又当x?0时，其导函数f(x)?0恒成立。
n'2??kx?2?)??2，其中k?(?1,1). （Ⅰ）求F(0)、f(?1)的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：?f(2?2x?4?
17、一个函数f?x?，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a,b,c都在f?x?的定义域内，就有
2f?a?,f?b?,f?c?也是某个三角形的三边长，则称f?x?为“保三角形函数”．
（I）判断f1?x??由；
（II）如果g?x?是定义在R上的周期函数，且值域为?0,???，证明g?x?不是“保三角形函数”； （III）若函数F?x??sinx，x??0,A?是“保三角形函数”，求A的最大值．
x，f2?x??x，f3?x??x2中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理
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