《最优化方法》复习题
第一章
引论
一、 判断与填空题
1 2
3 设f:D?R?R. 若x??Rn，对于一切x?Rn恒有f(x)?f(x)，则称x?为
最优化问题
4 设f:D?R?R. 若x??D，存在x?的某邻域N?(x)，使得对一切
nn?argmaxf(x)?argmin[?f(x)]. √
x?Rnx?Rnmax?f(x):x?D?Rn???min?f(x):x?D?Rn?. ?
minx?Df(x)的全局最优解. ?
?x?N?(x?)恒有f(x?)?f(x)，则称x?为最优化问题minf(x)的严格局部最
x?D优解. ?
5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √
6 非空集合D?R为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D. √ 7 非空集合D?R为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D. √
8 任意两个凸集的并集为凸集. ?
9 函数f:D?R?R为凸集D上的凸函数当且仅当?f为D上的凹函数. √
?10 设f:D?R?R为凸集D上的可微凸函数，x?D. 则对?x?D，有
nnnnf(x)?f(x?)??f(x?)T(x?x?). ?
11 若c(x)是凹函数，则D?{x?R c(x)?0}是凸集。 √ 12 设xn??为由求解minkx?Df(x)的算法A产生的迭代序列，假设算法A为单调下降算
k?1法，则对?k??0,1,2,??，恒有 f(x)?f(xk) . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √
15 函数f:D?R?R在点xk沿着迭代方向d?R\\{0}进行精确一维线搜索的
步长?k，则其搜索公式为 .
16 函数f:D?R?R在点xk沿着迭代方向d?R\\{0}进行精确一维线搜索的
步长?k，则?f(x??kd)d? 0 .
17 设d?R\\{0}为点x?D?R处关于区域D的一个下降方向，则对于
knknnknnknkkTk???0，???(0,?)使得xk??dk?D. ?
二、 简述题
1 写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
2 怎样判断一个函数是否为凸函数.
2?10x1?5x2是否为凸函数） （例如: 判断函数f(x)?x12?2x1x2?2x2
三、 证明题
1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如
minf(x)?判断s.t. Ax?b1TxGx?cTx?b2（其中G是正定矩阵）是凸规划.
x?0
2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.
第二章 线性规划
考虑线性规划问题：
(LP)mincTxs.t.Ax?b,x?0,
其中，c?Rn,
A?Rm?n,b?Rm 为给定的数据，且rankA?m,m?n.
一、 判断与选择题
1 (LP)的基解个数是有限的. √
2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √
3 (LP)的最优解集是凸的. √
4 对于标准型的(LP)，设?xk?由单纯形算法产生，则对k??0,1,2,??，有
cTxk?cTxk?1. ×
5 若x* 为(LP)的最优解，y* 为(DP)的可行解，则cTx*?bTy*. √
6 设x0是线性规划(LP)对应的基B?(P1,?,Pm)的基可行解，与基变量
x1,?,xm对应的规范式中，若存在?k?0，则线性规划(LP)没有最优解。×
7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.
8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. ×
二、 简述题
1 将以下线性规划问题化为标准型： maxf(x)?x1?2x2?3x3s.t.x1?x2?x3?6,x1?2x2?4x3?12,x1?x2?x3?2,x2?0,x3?0.
2 写出以下线性规划的对偶线性规划：
maxf(x)?3x1?2x2?x3?4x4?2x1?4x2?3x3?x4?3,x1,x2,
s.t.2x1?4x2?3x3?x4?6,x3,x4?0.三、 计算题
熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）. 见书本：
例2.3.1 (利用单纯形表求解); 例2.3.2 (利用大M法求解); 例2.3.3 (利用二阶段法求解).
四、 证明题
熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用
对偶理论证明相关结论。
第三章 无约束优化方法
一、 判断与选择题
1 设G?Rn?n为正定矩阵，则关于G共轭的任意n?1向量必线性相关. √ 2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. ×
4 ＤＦＰ算法3 经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. ×
最速下降法PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法. ×
5 用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关. √
6 FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性. ×
7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性. √ 8 函数f:Rn?R在xk处的最速下降方向为 . 9 求解minf(x)的经典Newton法在xk处的迭代方向为dk? . x?Rn10 若f(x)在x*的邻域内具有一阶连续的偏导数且?f(x*)?0，则x*为的局
部极小点. ×
偏导数都存在并不能保证函数在该点可微。11 若f(x)在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且x*为f(x)的严格局部
*极小点，则G*??2xxf(x)正定. ×
12 求解minf(x)的最速下降法在xk处的迭代方向为dk? . x?Rn13 求解minf(x)的阻尼Newton法在xk处的迭代方向为dk? . x?Rn14 用牛顿法求解minx?Rn1TxGx?bTx(b?Rn，G?Rn?n)时，至多迭代一次2可达其极小点. ×
Ｇ必须为对称正定矩阵15 牛顿法具有二阶收敛性. √
16 共轭方向法、共轭梯度法具有二次终止性. √ 17共轭梯度法的迭代方向为：_____________________.
天津大学最优化方法复习题2024
