素材来源于网络，林老师编辑整理
第10讲 二项分布和正态分布
[玩前必备]
1．条件概率
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝
P?AB?
(P(A)>0)． P?A?
n?AB?
. n?A?
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率
knk
为p，则P(X＝k)＝Ck(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，np(1－p)－
记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 5．正态分布
?(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝1e2π?(x?u)22?2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ
∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值
1
； σ2π素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a [玩转典例] 题型一 条件概率和相互独立事件概率 例1 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为 ． (2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)． 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 例2 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家3 庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个 411 家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确 124互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． [玩转跟踪] 1.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( ) 3277 A. B. C. D. 10989 2.（新课标高考）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作， 且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000,50)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ． 元件3元件22元件1 题型二 二项分布 例3 （湖南高考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽 奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的 分布列和数学期望． 例4 (广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________. [玩转跟踪] 1.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人． (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列． 题型三 正态分布 例5 “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下： 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45]内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和均值． 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 例6 （2011湖北）已知随机变量?服从正态分布N2,??2?，且P???4??0.8，则 P?0???2?? A．0.6 [玩转跟踪] 1．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(?,?)． (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(??3?,??3?)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10．26 10．12 9．91 9．96 9．96 10．01 9．22 9．92 9．98 10．04 9．95 2 B．0.4 C．0.3 D．0.2 10．13 10．02 10．04 10．05 11611621162(xi?x)?(?xi?16x2) xi?9.97，s?经计算得x???16i?116i?116i?1?0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16． 素材来源于网络，林老师编辑整理
第10讲 二项分布和正态分布学生
