课 不等式的基本性质 及一元二次不等式解法 题 教学内容 一、知识梳理与例题解析 （一）不等式的基本性质： 判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即 a?b的充分必要条件是a-b?0； a?b的充分必要条件是a-b?0； a?b的充分必要条件是a-b?0。 不等式的三个性质： 性质1 如果a?b，b?c，那么a?c。 性质2 如果a?b，那么a+c?b+c。 性质3 如果a?b，c?0，那么ac?bc；如果a?b，c?0，那么ac?bc。 性质4 如果a?b，c?d，那么a+c?b+d。 1．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例。 （1）如果a?b，c?d，那么ac?bd。 （2）如果a?b?0，那么0?11?。 ab[说明]利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质（3）的使用前提；对于不正确的命题进行修正，得到不等式的另外两个性质 性质（5）如果a?b?0，c?d?0，那么ac?bd。 性质（6）如果a?b?0，那么0?11?。 abn 2．探讨不等式在进行乘方，开方运算时具有的性质： 性质（7）如果a?b?0，那么a?b（n?N） 性质（8）如果a?b?0，那么na?nb（n?N，n?1）。 [说明]根据性质（5），由特殊到一般进行归纳得出性质（7）。介绍用反证法证明性质（8），归纳用反证法进行证明的主要步骤。 例题分析 例1．判断下列命题的真假。 （1）若a?b，那么ac?bc。 （假命题） （2）若ac?bc，那么a?b。 （真命题） （3）若a?b，c?d，那么a-c?b-d。 （假命题） 2222n**bd?，那么bc?ad。 （假命题） acnn（5）若a,b?R,a?b，那么a?b。 （真命题） （4）若
（6）若a,b?R,a?b?1，那么1?a?1?b。 （真命题） 例2．（1）比较(a?1)2与a?a?1的值的大小。 （2）比较a?b与2(2a?b)?5的值的大小。 （3）比较x?3与3x的值的大小。 解：（1）由(a?1)2-（a?a?1）=3a，得 22当a?0时，(a?1)2?a?a?1；当a?0时，(a?1)2=a?a?1； 2当a?0时，(a?1)2?a?a?1。 22222（2）由a?b-[2(2a?b)?5]=(a?2)2?(b?1)2， 22当a?2且b??1时，a?b=[2(2a?b)?5]； 22当a?2或b??1时，a?b?[2(2a?b)?5]。 2（3）由x?3-3x=(x?)?2232233??0，得x2?3?3x。 44[说明]应用不等式的性质，采用“作差法”比较两数（式）的大小。“比较法”的主要步骤是作差——变形（化简，配方，因式分解）——判断——结论。 例3．解关于x的不等式m(x?2)?x?m。 解：移项整理得(m?1)x??m， 如果m?1，那么x??mm；如果m?1，那么x??； m?1m?1如果m?1，那么不等式的解集为R。 [说明]此题重点强调在解不等式过程中，根据不等式的性质进行分类讨论。 巩固练习 1．有三个不等式ab?0,组成正确命题有几个？ 2．若c?1,试比较a?c?1?c,b?c?c?1的大小。 3. 设a=2, b=7－3, c=6－2，则a, b, c的大小顺序是 （ ） Ac b．两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况，可以归结为以下四种基本类型： 数轴表示 解集 类型（设a?b） x? ax?b x? b bax? a x? a x? bx?a ab a?x?b ab x?b x?ax?b? a b 2.一元二次不等式的解法: 一元二次不等式的一般形式是： ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0(a?0) 如何解一元二次不等式？ 二、解法探究 为了得到一元二次不等式的一般解法，不妨先研究一个简单的 一元二次不等式x?2x?3?0 的解法。 解法一：原不等式可化为 (x?3)(x?1)?0，它等价与 2?x?3?0?x?3?0或?将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原不等式??x?1?0?x?1?0的解集 {x|x??1或x?3} 解法二、利用数轴 ， －1、3将数轴分成三个部分， -1 3 x 当x?3时，x?3?0,x?1?0 所以(x?3)(x?1)?0 当?1?x?3时，x?3?0,x?1?0 所以(x?3)(x?1)?0 当x??1时，x?3?0,x?1?0 所以(x?3)(x?1)?0 可得原不等式的解集 {x|x??1或x?3} 还可得到(x?3)(x?1)?0解集为{x|?1?x?3}。 2 解法三、利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数y?x?2x?3取正值时x的取值范围，即求该二次函数的图像 在x轴上方时x的取值范围。 y -1 0 3 x y?x2?2x?3 的图像是一条开口向上的抛物线，它与x轴有两个2交点，由方程x?2x?3?0的解可得交点的横坐标分别是x??1 ，x?3 ，容易看出，当x??1或x?3时上述函数的图像在x轴上2方，x?2x?3?0 ；当?1?x?3时，上述函数的图像在x轴下方，即x2?2x?3?0 ，于是可得不等式解集为{x|?1?x?3}。 我们知道，二次函数 [说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。 例1．利用二次函数图像解下列不等式。 （1）x2?2x?3?0 （2）x2?4x?4?0 练习:解下列不等式： （1）2x-3x-2?0 （2）-3x+x+1>0 (3)9x+6x+1>0 (4)4x-x<5 (5)2x+x+1?0 （二）一元二次不等式的解法 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程ax2?bx?c?0与二次函数y?ax2?bx?c的有关性质求解，具体见下表： ??0 ??0 ??0 a?0，??b2?4ac 二次函数 22222y?ax2?bx?c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 ax2?bx?c?0 的根 一元二次不等不等式 x?x1或x?x2 {x|x?x1或x?x2} x?x1?x2?? b2a无实根 ax2?bx?c?0 的解集 {x|x?x1} R 式的解集 不等式 ax2?bx?c?0 的解集 {x|x1?x?x2} Φ Φ 【注意】 1．解一元二次不等式的步骤： （1） 把二次项的系数a变为正的． （如果a?0，那么在不等式两边都乘以?1，把系数变为正） （2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） （3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a?0且??0时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” 。 21.使不等式2x－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是 （ ） A.x＜0 B.x≥0 C.x∈{－1，3，5} 2 D.x≤－1或x≥3 22.（1）求不等式x?2x?15?0的解集 (2)求不等式x2?2|x|?15?0的解集。 3.不等式x2?3|x|?2?0的解集是 ( ) A．(?2,?1)?(1,2) B．(1,2) C．(?2,?1) D．(?2,?1)?(1,2) 4.(1)若不等式的ax?bx?c?0的解集为（1，2），则不等式cx?bx?a?0的解集为_________ (2)若不等式的ax?bx?c?0的解集为（1，2），则不等式cx?bx?a?0的解集为_________ 2222?x2?1?05.求不等式组?的解集 2?x?3x?02 6.解关于x的一元二次不等式x?(a?3)x?3a?0 7. 对一切实数x，不等式ax+(a-6)x+2＞0恒成立，求a的值． （三）高次不等式的解法 8. 高次不等式的解法：数轴法 解不等式x(x?1)(x?2)?0 练习：解不等式 （1） (x?3)(1?x)(x?1)?0 （2）(x?4)(x?2)(x?5)(x?3)?0 （四）分式不等式的解法 9.分式不等式2?x?a1??x?a2???x?am???0或?0?可先转化，再用数轴标根法求解。 ?x?b1??x?b2???x?bn?
不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
