中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质
知识考点：
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.
例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习]
例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．
例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切长线于D，求证：AC=CD．
例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，
于C，交AB?的延于点D，与AC?交
AB?AF，BF和
AD交于E， 求证：AE=BE．
例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．
（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．
例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由． 例7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3． （1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？ （2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？
19.如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3）若OG?DE?3(2?2)，求⊙O的面积。
FCGEAOB12、如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD。
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径。
DBC的中点，OE交
?13、如图，在△ABC中，∠ABC＝900，O是AB上一点，以O为圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，求S?BCD。
心，OB为半径的圆
1如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，
垂足为F，交CB的延长线于点E。 (1)求证：直线EF是⊙O的切线； (2)求CF:CE的值。
A F 2如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交ADD G 于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若
3如图，RtAC3AF的值。 ?，求
AB5DFE B O C
E BC的中点，连接△ABC中，?ABC?90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边C (第22题图) DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）连接OC交DE于点F，若OF (1) 求证：直线PB与⊙O相切；
?CF，求tan?ACO的值． 4．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
A F C O E D B D F (2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长． 已知：如图，在Rt△ABC中，?C交于点D，E，且?CBD??A．
A ?90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别
O C D B O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD:AO?8:5，BC?2，求BD的长．
（1）判断直线BD与解：（1）
（2）
如图18，四边形ABCD内接于
O，BD是O的直径，AEE，DA平分A ?CD，垂足为B ?BDE． EO （1）求证：AE是（2）若?DBCO的切线；
A E ?30，DE?1cm，求BD的长．
如图所示，△ABC是直角三角形，?ABC?90，以点，连结DE． （1）求证：DE与（2）若24、
AB为直径的O交AC于点D E，点D是BC边的中
A O B E O C 图18 O相切；
O的半径为3，DE?3，求AE．
C AC于点N，交BC的延长线于D 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过MB 作AB的垂线交点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E. （1）证明CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。
（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）EM＝FM。 证明：
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝r。
（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD?OC的值； （3）若AD＋OC＝探索与创新：
【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。
（1）求∠G的余弦值； （2）求AE的长。
【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝?（定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。
（1）求∠POQ；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。
圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型
1、已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin?ABE?PCQBBCO?BA（第24题）
BE23FOMADD1ECO?9r，求CD的长。 2例1图 D12AGACC例2图 OF?3BD例3图 E问题一图 3，CD?2，求⊙O的半径． 3AEDADOONE2、已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AEB于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．
FCHOF问题二图 CBDAE
3、如图，?ABC是等腰三角形，AB?直径的⊙O与BC交于点D，DEAC，以AC为
C F ?AB，垂足为E，
O D ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
A （2）若⊙O的半径为2，BE?1，求cosA的值． 4、已知：如图，(1)
E 第3题图 B AB是⊙O的直径，BC切O于B，AC交⊙O于P，D为BC边的中点，连结DP．
DP是⊙O的切线；
3， ⊙O的半径为5， 求DP的长. 5AP(2) 若cosA?5、如图，在△ABC中，AB?AC，AE是角平分线，BM OC 平分?ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于 点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径． （1）求证：AE与⊙O相切；
M BE G A
B DCF O BC?4，cosC?（2）当
13时，求⊙O的半径．
6、如图，AB是⊙O的直径，?BAC?30?，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点（1）证明CF是⊙O的切线
(2) 设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长.
7、如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作 DEAC于点F. 求证：△DFC是等腰三角形.
8、在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB点C，联结AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是证明你的结论.
（2）若OB=BD=2,求CE的长．
9、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙OBC、AC于点D、E， 联结EB交OD于点F． （1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．
10、如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（9题图） NAMOBFCE,直线CF交EN于点F,且?ECF??E.
E⊥AB,垂足为E,DE交
为直径的半圆O 过在直径AB上.
_______________；并
FC分别交
AOEECDBDO于点E，若∠
AFOB（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．
11、已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．
（1）求证：AD＝DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，
求⊙O的半径．
12、如图，AB为⊙O的直径，AD平分?BAC交⊙O于点
D，
DE?AC交AC的延长线于点E，BF?AB交AD的延长
线于点F，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE?3,⊙O的半径为5，求BF的长．
13、如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥
AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
14、如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点点
O作
且
BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于?D??BAC.
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC?2，CE?2，求AD的长.
15、已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC
ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点, 交BD于点G，交AB于点F． （1）求证：AC与⊙O相切；
D
，
中点，BE平分∠
1（2）当BD=2，sinC=时，求⊙O的半径．
2切线BP于点P．
（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，
并证明你的结论．
C⌒的中点，OM交⊙D16、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是 BCO的
EGAFOB（2）若sin∠BAC＝0.8，⊙O的半径为2， 求线段PC的长．
17、如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）若CD = 33 ，求BC的长．
18、已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径， AD平分?CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE?6cm，AE?3cm，求⊙O的半径.
19、已知：如图，AB为⊙O的直径，弦AC//OD,BD切⊙O于B,联结CD．
（1）判断CD是否为⊙O的切线，若是请证明；若不是请说明理由． （2）若AC?2,OD?6,求⊙O的半径．
20、如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
E D A O B C
中考复习专题——圆切线证明()
