高等数学下册知识点
第八章
（一） 向量线性运算
空间解析几何与向量代数
定理 1：设向量 a≠0，则向量 b 平行于 a 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使
b＝λa
1、 线性运算：加减法、数乘；
2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
3、 利用坐标做向量的运算：设 a
( ax , ay , az ) ， b (b ,b ,b )
xy z
则 a b (ax bx , ay by , az bz ) ,
a ( ax , ay , az ) ；
4、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模： r
x2
y2
z2
；
2） 两点间的距离公式：
AB
( x2 x1 )2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 , ,
4） 方向余弦：
cos
x
, cosy
, cos
z
r
r
r
cos
2
cos
2
cos
2
1
5） 投影： Pr ju a a cos
，其中 为向量 a 与 u 的夹角。
（二） 数量积，向量积
1、 数量积： a b
a b cos
1）
a a
a
2
2）
a
b
a b
0
；
a b a x bx
a y b y a z bza
2、 向量积： c 大小： a b
b sin，方向： a , b , c 符合右手规则
） 0
1 a
a
2） a // b
a
b
0
i
j
k
a b
ax
ay
az
bx by
bz
运算律：反交换律
b a
a
b
（三） 曲面及其方程
1、 曲面方程的概念：
S : f ( x, y, z)
0
2、 旋转曲面：
yoz 面上曲线 C : f ( y , z)
0 ，
绕 y 轴旋转一周： f ( y, x 2
z 2
)
绕 z 轴旋转一周： f ( x
2
y 2 , z)
3、 柱面：
F ( x , y ) 0 表示母线平行于 z 轴，准线为
4、 二次曲面
0
0
F ( x, y ) 0z 0
的柱面
x
1） 椭圆锥面：
2
yb2y
2
2
2
z
a
2
2
x
z2
1
2） 椭球面： a
2
b 2
c
2
x
2
y 2
z 2
旋转椭球面：
a
1
2
a 2
c 2
x 2
y
2
z
2
3） 单叶双曲面： a
1
2 2
b 2
c
x 2
y 2
z
2
a
4） 双叶双曲面： 2
b
2
c
2
1
x 2 2
y
z
5） 椭圆抛物面：
a
2 2
b
x
2 y
2
6） 双曲抛物面（马鞍面）：
a
2
b
2
x
2
y
2
7） 椭圆柱面： a 2
b 2
1
x
2
y 2
8） 双曲柱面： a
b
2
1
2
9） 抛物柱面： x
2
ay
（四） 空间曲线及其方程
F ( x, y , z)
0 1、 一般方程：
G ( x , y , z)
0
z
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