表7 行业产出分配表 产出分配 购买者 煤炭 电力 钢铁 0 煤炭 电力 钢铁 每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 求使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.
【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.
【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x1, x2, x3表示, 则
?x1?0.4x2?0.6x3?x1?0.4x2?0.6x3?0??x?0.6x?0.1x?0.2x, 即?2??0.6x1?0.9x2?0.2x3?0. 123?x?0.4x?0.5x?0.2x??0.4x?0.5x?0.8x?0123123?3?【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令
>> A = [1,,;,,;,,];
>> x = null(A,’r’); format short, x’ Matlab执行后得 ans =
可见上述齐次线性方程组的通解为
x = k, , 1)T.
这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别亿元, 亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.
【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.
Matlab实验题
假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:
表8 行业产出分配表 产出分配 购买者 煤炭 石油 电力 钢铁 制造 运输 0 0 煤炭 0 0 石油 电力 0 钢铁 0 0 制造 0 0 运输 每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 求使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.
案例十. 电路设计问题
电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.
图22 USB扩展板
?v?【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用?1?记录
?i1??v?输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用?2?记录输出
?i2??v??v?电压和输入电流. 若?2?= A?1?, 则称矩阵A为转移矩阵.
?i2??i1?i1 输入终端v1 电路 i2 输出终端v2
图23 具有输入和输出终端的电子电路图
图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R1(单位: 欧姆).
右边的电路是并联电路, 电路R2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是
0??1?R1??1和?01???1/R1?
???2?i1 v1 R1 i2 v2 i2 R2 i3 v3 串联电路 并联电路
图24 梯形网络
?1?8?设计一个梯形网络, 其转移矩阵是??. ?0.55??【模型假设】假设导线的电阻为零.
【模型建立】设A1和A2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x先变换成A1x, 再变换到A2(A1x). 其中
?R1?0??1?R1??1?1A2A1 =?=????? ?1/R1?1/R1?R/R01?2????212?就是图22中梯形网络的转移矩阵.
?R1??1?8??1于是, 原问题转化为求R1, R2的值使得??=??0.55?. ?1/R1?R/R??212????R1??8?R1??1?8???1【模型求解】由?=可得??1/R2??0.5. ???0.55??1/R1?R/R??212???1?R/R?512?根据其中的前两个方程可得R1 = 8, R2 = 2. 把R1 = 8, R2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R1 = 8, R2 = 2即为所求.
?1?8?【模型分析】若要求的转移矩阵改为??, 则上面的梯形网络无法实现. 因为
??0.54???R1??8?这时对应的方程组是??1/R2??0.5. 根据前两个方程依然得到R1 = 8, R2 = 2, 但把
?1?R/R?412?R1 = 8, R2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.
练习题
根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i1, i2, i3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:
R2 ① E1
R5 ② i1 R3 图25 简单的回路
R4 i3 E2 i2 ③
R1
案例十一. 平面图形的几何变换
随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.
图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.
【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现. 【模型假设】设平移变换为
(x, y) ? (x+a, y+b)
旋转变换(绕原点逆时针旋转?角度)为
(x, y) ? (xcos? ? ysin?, xsin? + ycos?)
放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为
(x, y) ? (sx, ty)
【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换
(x, y) ? (x+a, y+b)
可以用齐次坐标写成
(x, y, 1) ? (x+a, y+b, 1).
?10a??x??x?a?于是可以用矩阵乘积?01b??y?=?y?b?实现.
?001??1??1???????旋转变换
(x, y) ? (xcos? ? ysin?, xsin? + ycos?)
可以用齐次坐标写成
(x, y, 1) ? (xcos? ? ysin?, xsin? + ycos?, 1). ?cos??sin?0??x??xcos??ysin??于是可以用矩阵乘积?sin?cos?0??y?=?xsin??ycos??实现.
????0?01?1???1???放缩变换
(x, y) ? (sx, ty)
可以用齐次坐标写成
(x, y, 1) ? (sx, ty, 1).
?s00??x??sx?于是可以用矩阵乘积?0t0??y?=?ty?实现.
?001??1??1????????AO?【模型分析】由上述求解可以看出, R2中的任何线性变换都可以用分块矩阵???O1?乘以齐次坐标实现, 其中A是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现. 参考文献
David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.
Matlab实验题
在Matlab命令窗口输入以下命令 >>clear all, clc,
>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x = sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); >>grid on;
>>axis([, , -2, 2])
运行后得图25.
图26 Matlab绘制的图形
(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标;
(2) 编写Matlab程序, 先将上面图形放大倍; 再逆时针旋转标加, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.
?; 最后进行横坐3案例十二. 太空探测器轨道数据问题
太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x1, …, xk, 它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.
图28 火星探测器
数学建模案例分析线性代数建模案例例
