实用文库汇编之二次函数图象与性质
知识点一、二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.
知识点二、二次函数的图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 1. 用描点法画图象
首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点. 2. 用平移法画图象
由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：
函数 a的符号 图象 开口顶点方向 坐标 对称轴
增减性 最大(小)值 1
当x=0时， y最小=0 y=ax a>0 2向上 (0，0) y轴 x>0时，y随x增大而增大 x<0时，y随x增大而减小 y=ax a<0 2向下 (0，0) y轴 x>0时，y随x增大而减小 x<0时，y随x增大而增大 当x=0时， y最大=0 2.函数y=ax+c(a≠0)的图象及其性质:
2
(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c
2
(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c
2
3.二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与性质：
2
二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是
2
，
对称轴是直线
函数 二次函数y=ax+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) a>0 a<0 2图象 (1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点性质 (2)在对称轴直线是它的最低点. 延伸，顶点是它的最高点. 的左侧，抛物线自(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.
左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降. 知识点四、抛物线y=ax+bx+c中a、b、c的作用
2
2
a，b，c的代数式 作用 a 1. 决定抛物线的开口方向； 2. 决定增减性 字母的符号 a>0 a<0 c>0 c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c) 决定对称轴的位置，对称轴是直 c=0 c<0 ab>0 ab<0 b-4ac>0 b-4ac 22图象的特征 开口向上 开口向下 交点在x轴上方 抛物线过原点 交点在x轴下方 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 抛物线与x轴有两个交点 顶点在x轴上 抛物线与x轴无公共点 线 决定抛物线与x轴公共点的个数 b-4ac=0 b-4ac<0 22
1.求二次函数解析式的方法
一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.
2
(1)一般式： y=ax+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) (2)顶点式：
2
y=a(x-h)+k(a，h，k为常数，a≠0)
要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.
2
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.
2
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)+k求解.
2.确定二次函数最值的方法
确定二次函数
的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出
二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.
①若自变量的取值范围是全体实数，函数
有最大值或最小值，如图所示.
图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是；
图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是.
3
②若自变量的取值范围不是全体实数，函数
有最大值或最小值，如图所示.
图(1)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
图(2)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
图(3)中，当
时，函数有最大值
；当
时，函数有最小值
；
图(4)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
图(5)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值.
二次函数的图像和性质专项练习
1.抛物线y=x2+3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4
2．抛物线y=－bx＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。 3．抛物线y=－
21(x?2)2－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿＿＿时，y随x2的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
4.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) yyyy
1xO11xOO1xxO
B与x轴的两个交点在Ay=5x2+(m-1)x+mDC5.已知抛物线y轴同侧,它们的距离平方等于
A.-2 B.12 C.24 D.48
6.函数y=x2+px+q的图象是以(3,2)为顶点的抛物线,则这个函数的关系式是( ) A.y=x2+6x+11 B.y=x2-6x-11 C.y=x2-6x+11 D.y=x2-6x+7 7．抛物线y=－
49,则m的值为( ) 251(x?2)2－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿＿＿时，y随x2的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。 8．抛物线y?2(x?1)?3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（?1，3） C．（1，?3） D．（?1，?3）
9．已知抛物线的顶点为（?1，?2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）
A．y=3(x?1)－2 B．y=3(x?1)＋2 C．y=3(x?1)－2 D．y=－3(x?1)－2
10．二次函数y?ax的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）
A．y=a(x?2)＋3 B．y=a(x?2)－3 C．y=a(x?2)＋3 D．y=a(x?2)－3 11．抛物线y?x?4x?4的顶点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（2，-2） C．（2，-8） D．（-2，-8） 12．对抛物线y=2(x?2)－3与y=－2(x?2)＋4的说法不正确的是（ ）
A．抛物线的形状相同 B．抛物线的顶点相同
5
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实用文库汇编之二次函数解析式练习题
