高等数学中无穷级数的学习困境及对策探析
高等数学是高等院校非数学专业必修的一门重要基础课，而无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的有力工具。[1-2]无穷级数的理论丰富，应用广泛。它是高等数学的最后一章，也是大一学生第二学期临近期末时的学习内容。虽然无穷级数没有太大的计算量，没有太多严密的证明推导，但有很大一部分学生在学习这章时遇到了诸多困难。本文尝试从教师的角度出发，总结学生在本章学习时遇到的疑惑和困难，探索解决这些问题的方法，以期破除学生不知为什么要学、怎样学及怎样用的学习困境，从而帮助学生提高无穷级数的学习质量。 一、无穷级数的学习困境
在多年的教学实践中，我们收集和归纳了学生在学习过程中所遇到的各种问题，常见的问题有以下几种。 （一）概念性质和方法定理多，易混淆、难理解 无穷级数这章包括常数项级数、幂级数和傅里叶级数三部分内容，其中，数项级数是本章的基础，幂级数是重点，傅里叶级数是难点。每部分都涉及大量的概念、性质、方法和定理。这些知识使学生理不清头绪，茫然不知所措。比如，常数项级数的敛散性判断是本章的一个重点和关键点，其中涉及很多类型级数敛散性的判定方法和定理。然而，学生往往将它们混淆，不能正确
理解方法和定理，不能恰当地使用判定方法和定理判定级数的敛散性，典型的错误有如下两类。
1. 用正项级数审敛法判断任意项级数的敛散性 （二） 知识脱节，思维方法不当
从多元函数微积分的学习跳跃到无穷级数，学生容易出现知识脱节现象。多元函数的微积分是高等数学的重点，也是难点。部分学生学习无穷级数时，思维还停留在前面知识里；有的学生还处于微积分知识的复习总结过程中；甚至有的学生还在查漏补缺阶段等。然而，新的一章开始了，学生已遗忘本章所需的预备知识――数列极限、泰勒公式、定积分的计算等，而且内容从连续变到离散、从有限变到无限。这些都让相当一部分学生难以适应，从而导致学生学习本章知识时出现困难。 （三）学习目的不明，学习积极性不高
也许是大学数学课堂教学的教学模式不恰当，使学生没有明确为什么要学， 相反的，却常使学生对所学的内容感到枯燥乏味，感觉数学就是一系列的公式推导和逻辑推理，就像是在玩数字游戏，甚至有部分学生发出了这样的疑惑：把数学问题用抽象的符号表达出来并进行相应的符号运算的确美，可是这种“美”究竟有没有实际意义？无穷级数这一章在这方面体现得尤其明显。学生在学习中没有看到级数的价值所在，“学习级数到底有什么用”的疑问时常出现。再加上内容繁琐，更增加了学习的难度，直接导致学生对无穷级数部分知识的学习目的不明确，学习
积极性不高。
（四） 知识繁琐，方法欠佳
无穷级数包含常数项级数和函数项级数两大部分。前部分是后部分的基础，后部分是前部分的推广。常数项级数又包括其概念和性质，正项级数的审敛法、交错级数和任意项级数的审敛法，它们的关系是从一般――特殊――一般；函数项级数包括幂级数及其性质、函数展成幂级数、傅里叶级数及其性质、函数展成傅里叶级数，它们的研究方法雷同，但它们的研究对象、性质和函数展成函数项级数的条件和方法都有许多不同。很多学生在学习时，没有好的学习方法，不能理清它们之间的关系，在头脑中未形成清楚的知识结构关系，结果发出了“无穷级数是高等数学里最难的一章”的感慨，并陷入了以下学习困境：对常数项级数的敛散性判断，常常无从下手；对幂级数和函数，摸头不知尾；对泰勒级数的冗长公式、函数的麦克劳林级数展开式，往往无所适从；对傅里叶级数更是“望而生畏”。 （五）自主学习不够，内化学习能力不强
根据我们的调查情况显示，学生在很大程度上存在着学习盲目、盲从现象，缺乏具体的学习目标和学习规划。一方面，进入大学后，部分学生还没有实现从中学到大学的学习转变，还没有掌握适合大学的、适合自己的学习方法和策略，特别是难以实现学习过程中的自我监控、自我调节和自我评价，从而导致自主学习存在困难。大部分学生仍处于被动学习状态，对自主学习缺乏
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