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2019高考数学二轮复习专题五解析几何高考提能圆的第二定
义、阿波罗斯圆学案
一、问题背景
苏教版《数学必修2》P112第12题：
已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线． 二、阿波罗尼斯圆
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果： 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点A，B为两定点，动点P满足PA＝λPB.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证：设AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m,0)，B(m,0)． 又设P(x，y)，则由PA＝λPB得＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线； 当λ＞1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆． 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．
longer because it had been ept in the bottle for so long.The poor boy questioned his teacher,“I don’t understand why1 / 7
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三、阿波罗尼斯圆的性质
1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点．
2．直线CM平分∠ACB，直线CN平分∠ACB的外角． 3.＝. 4．CM⊥CN.
5．当λ＞1时，点B在圆O内； 当0＜λ＜1时，点A在圆O内．
6．若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.
7．若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF. 四、范例欣赏
例1 设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹． 解 设动点P的坐标为(x，y)， 由＝a(a＞0)，得＝a.
化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0. 当a≠1时，得x2＋x＋c2＋y2＝0，整理得2＋y2＝2. 当a＝1时，化简得x＝0.
所以当a≠1时，P点的轨迹是以为圆心，
?2ac?为半径的圆； ?a2－1???
当a＝1时，P点的轨迹为y轴．
例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
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2019高考数学二轮复习专题五解析几何高考提能圆的第二定义、阿波罗斯圆学案
