高中数学之生活中的优化问题举例
§1．4．1生活中的优化问题举例(1)
【学情分析】：
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
【教学目标】：
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教学突破点】：
利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
【教法、学法设计】： 【教学过程设计】： 教学环节 (1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤 教学活动 设计意图 为课题作铺垫. 选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题， 学生回答：导数法求函数最值的基本步骤 (2)典型例题讲解 例1、 把边长为acm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？ 解 设剪去的小方形的边长为x，则盒子的为 aV?x(a?2x)2 (0?x?)， 2求导数，得 V??(a?2x)2?4x(a?2x)?(2x?a)(6x?a)， aaa或x?，其中x?不合题意，故在区间622aa(0, )内只有一个根：x?， 62aaa,,显然，0?x?时v(x)?0 ?x?时v(x)?0 662a因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积6令V??0得x?最大． 让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。 使学生对该问题的解题思路清析化。 (3) 利用导数解决优化问题的基本思路： 1、 生活中的优化问题转化为数学问题 2、 立数学模型（勿忘确定函数定义域） 3、 利用导数法讨论函数最值问题 例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千米，现要在AB上找一点D修一条公路CD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到C的运费最省? 解： 设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式，则 CD＝202?x2，BD＝100-x，公路运费5k元／Tkm，铁路运费3k元／Tkm (4)加强巩固1 y＝5k400?x2?3k(100?x)，(x??0,100?) 求出f' (x)＝使学生能熟练步骤. 5kx400?x2?3k， 22令f’(x)＝0，得 3600＋9x＝25x 解得x1＝15，x2＝-15(舍去)， ∵y(15)＝330k y(0)＝400k，y(100)≈510k ∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。 例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8?r分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 2?r3?432y?f?r??0.2??r?0.8?r?0.8???r2?,0?r?6 3?3?提高提高当r??0,2?时，f??r??0；当r??2,6?时，f??r??0． 问题的综当半径r?2时，f??r??0它表示f?r?单调递增，即半径越大，合利润越高； 性，锻炼当半径r?2时，f??r??0 它表示f?r?单调递减，即半径越大，学生利润越低． 能力。 （1） 半径为2cm 时，利润最小，这时f?2??0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2） 半径为6cm时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r?3时，f?3??0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r?3时，利润才为正值． 当r??0,2?时，f??r??0，f?r?为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小． 2令f??r??0.8?(r?2r)?0 解得 r?2（r?0舍去） (5) 加强巩固2 (6)课堂小结 1、 建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键 2、 要注意不能漏掉函数的定义域 3、 注意解题步骤的规范性 (7)作业布置:教科书P104 A组1,2,3。 (8备用题目： 1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为 （ A ） A 20320cm B 100cm C 20cm D cm 332、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 （A ） A 3V B 32V C 34V D 23V 3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。 4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。 5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为： q?200?4p，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：先求出利润函数的表达式： L(q)?R(q)?C(q)?pq?(500?10q)?200?q1q?500?10q??q2?40q?50044 1L?(q)??q?402再求导函数： 求得极值点：q ＝ 80。只有一个极值点，就是最值点。 故得：q ＝ 80 时，利润最大。最大利润是： 1L(80)???802?40?80?500?11004 注意：还可以计算出此时的价格：p ＝ 30 元。 6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ x48?2x4848?2x90?2xx 解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则 V(x)?x(90?2x)(48?2x)?4x3?276x2?4320x 48?2x?0,90?2x?0,x?0 ?0?x?24 求V(x)导数得V?(x)?12x2?552x?4320?12(x?10)(x?36)
高中数学之生活中的优化问题举例
