则∴
，
，
设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m ∵OC＝4，∴CM＝2， ∴D（m，﹣6），B（4m，0）， 则
∴OE＝8，
S△BEF＝×4×4m＝8， ∴m＝1，
∴A（﹣2，0），B（4，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4）， 即y＝ax﹣2ax﹣8a， 令x＝0，则y＝﹣8a， ∴C（0，﹣8a）， ∴﹣8a＝﹣4，a＝， ∴
；
2
，
②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角， CB＝16m+16，CD＝m+4，DB＝9m+36， 当∠CDB为锐角时， CD+DB＞CB， m+4+9m+36＞16m+16， 解得﹣2＜m＜2； 当∠BCD为锐角时， CD+CB＞DB， m+4+16m+16＞9m+36， 解得综上：
，
，
；
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2
故：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线分线段成比例、勾股定理运用等，其中（1），用平行线分线段成比例，是本题解题的关键．
28．（12分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为（ts）． （1）若AB＝2
．
①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值； ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．
【分析】（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出可解决问题．
②分三种情形分别求解即可：如图2﹣1中，当∠PCB’＝90°时．如图2﹣2中，当∠PCB’＝90°时．如图2﹣3中，当∠CPB’＝90°时．
（2）如图3﹣2中，首先证明四边形ABCD是正方形，如图3﹣2中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题． 【解答】解：（1）①如图1中，
＝
，即
∵四边形ABCD是矩形，
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∴∠ABC＝90°， ∴AC＝
＝
，
∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°， ∴△PCB′∽△ACB， ∴∴∴PB′＝2
②如图2﹣1中，当∠PCB’＝90°时，
＝
＝﹣4． ，
，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝2∴DB′＝
∴CB′＝CD﹣DB′＝
＝，
2
2
2
，AD＝BC＝3， ，
在Rt△PCB′中，∵B′P＝PC+B′C， ∴t＝（∴t＝2．
如图2﹣2中，当∠PCB’＝90°时，
2
）+（3﹣t），
22
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在Rt△ADB′中，DB′＝∴CB′＝3
，解得t＝6． ＝
，
在Rt△PCB’中则有：
如图2﹣3中，当∠CPB’＝90°时，易证四边形ABP’为正方形，易知t＝2．
综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2
（2）如图3﹣1中，
s．
∵∠PAM＝45°
∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°
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又∵翻折，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠ADM＝∠AB’M，AM＝AM， ∴△AMD≌△AMB′（AAS）， ∴AD＝AB’＝AB， 即四边形ABCD是正方形， 如图，设∠APB＝x．
∴∠PAB＝90°﹣x， ∴∠DAP＝x，
易证△MDA≌△B’AM（HL）， ∴∠BAM＝∠DAM， ∵翻折，
∴∠PAB＝∠PAB’＝90°﹣x，
∴∠DAB’＝∠PAB’﹣∠DAP＝90°﹣2x， ∴∠DAM＝∠DAB’＝45°﹣x， ∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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2019年江苏省无锡市中考数学试卷
