………线…………○…………
………线…………○………… 15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?2x?c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；
（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．
第11页 共12页 第12页 共12页 …※…○※…题○※……※…答…※……※订内……※订※……线…※…※……订○※……※○装……※…※…在……※装※…要装…※……※…不…※……※请…○※○…※…………………内外……………………○○……… …………… ◎
参考答案
1．（1）y=﹣x+x+4；（2）m=2，D(﹣1，
12295527)； ）或P(1，)； （3）P（，2282（4）0＜t≤【解析】 【分析】
261． 200(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解． (2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数y??值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标．
(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点(4)由A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A?Q?，所以QQ?∥AD，即可求出QQ?的函数关系式，设直线QQ?与抛物线交于第一象限P点，所以当Q?与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围． 【详解】
解：(1)∵A(?2,0)，C(0,4)
1x?m,即可求出m的2把A,C代入抛物线y??12x?bx?c， 2?1﹣?4－2b+c=0? 得：?2??c=4?b=1 解得??c=4∴y=﹣x+x+4．
122﹣x+x+4=0， （2）令y=0即2 ，x2=4 解得x1=﹣∴B（4,0）
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122
把B（4,0）代入y??得0???4?m m=2
1x?m 212y??1x?2， 212?1y=﹣x+x+4?x1=﹣??x2=4??2 得? ∴?或?51y=0y1=?2?y??x?2?2??2?5) 25∴,m=2，D(﹣1，)．
211﹣a2+a+4）（3）设P（a，，则F（a，?a?2）， 22∴B(4,0),D(﹣1，∵DN⊥PH，
∴N点纵坐标等于D点的纵坐标 ∴N(a，FN=
5) 251111513﹣a2+a+4－=﹣a2+a+， －（?a?2）=a?，PN=
22222222∵N是线段PF的三等分点， ∴①当FN=2PN时，
1113a?=2（﹣a2+a+）， 22225解得：a=或a=﹣1（舍去），
2∴P（
527 ），．
28②当2FN=PN时， 2（
1113a?）=（﹣a2+a+）， 2222得a=1或a=﹣1（舍去）， ∴P(1,
9)， 2答案第2页，总36页
综上P点坐标为P（
9527 ）或P(1,)， ，
2825)，又A(?2,0)， 2(4)由（2）问得D(﹣1，设AD：y=kx+b，
5?﹣k+b=?2 ， ??﹣2k?b?0??5?k=∴?2 ， ??b=5∴AD：y=
5x+5， 225又GM⊥AD，
∴可设GM： y=﹣x+p，
以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A?Q?， ∴QQ?∥AD， 可设QQ?：y=
5?4?x+q，又Q??,0?，代入QQ?， 2?5?5?4?得：×???+q=0，
2?5?q=2， ∴QQ?：y=
5x+2， 2设直线QQ?与抛物线交于第一象限N点,,所以当Q?与N点重合时,t有最大值，
5?y?x+2??2 ， ∴?1?y=﹣x2+x+4?2??x1=14?x2=﹣? ， 解得：?9或?8y1=?y2=﹣?2?答案第3页，总36页
∴N(1,
9?4?)又Q??,0?， 2?5?设H为N,Q中点， 则H（
91，）， 10425又∵H在直线GM上， ∴把H代入GM y=﹣x+p ，
921=﹣?+p， 4510229P= ， 1002229∴y=﹣x+，
51002229﹣x+令y=0得：0=， 5100229 ， ∴x=402294261+= ， 即QM=
40540得：
∵M的速度为5，
261261÷5= ， 40200261∴0＜t≤．
200∴t=
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求
答案第4页，总36页
2024-2024学年度中考数学压轴题专项训练3
