多个关联确定性时间序列微分方程建模方法研究
孙文凯，胡晓华*，蒋文江
【摘 要】从纯数学的角度，对多个关联确定性时间序列分别进行多次累加产生新序列，研究序列之间的关系，建立多元线性（或非线性）回归方程.给定显著性水平α，对每个回归方程进行显著性检验.在置信度1-α下建立微分方程组模型，从而揭示这些时间序列之间的关系，实现对原序列的预测和控制.最后用1995-2014年海南省GDP和接待旅游人数建立微分方程组模型并进行预测. 【期刊名称】海南师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(000)001 【总页数】6
【关键词】多个时间序列；累加；微分方程；预测
对于彼此间互相影响的多个时间序列，如何揭示它们间的动态关系是要研究的主要内容.设X1（t），X2（t），…，Xk（t）（t=0，1，2，…，T）为k个非随机的原始时间序列.如果给定的是单位时间数据如日（月、年）产量等,则可把它进行多次累加，产生多个新序列；如果给定的是累积单位时间数据,如到某日（月、年）的累积产量等，则可把它进行多次累减，产生多个新序列.无论哪种情况，都可从纯数学的角度对每个原始时间序列Xi（t）进行一次、两次甚至多次累加（减），直至最后一次累加（减）产生的新序列出现明显的趋势为止.实际应用中一般二、三次累加（减）即可.
接下来寻找Xi（t）与其他序列和多次累加（减）后产生的新序列之间的关系.对每个Xi（t）建立单个多元线性（非线性）回归模型，给定显著性水平α，在置信度1-α下对单个方程进行显著性检验，若检验通过则利用微分、差分关系
建立相应的单个微分方程.最后把单个微分方程合成微分方程组.该微分方程组可以是非线性的（当然也可以是线性的），可以是高阶的（也包括一阶），并能刻画k个原始时间序列X1（t），X2（t），…，Xk（t）彼此间互相影响的动态关系.这样就部分弥补了灰色预测法[1]不能建立非线性模型的不足.每个微分方程可决系数R2的大小能刻画单个微分方程拟合程度的合理性.其中最小的R2能刻画微分方程组拟合程度的好坏.许多著名的微分方程模型，如电子工程中的Van der pol方程[2]，生物种群中的Volterra模型[3]，气象方面的Lorenz模型[4]等均可纳入这种建模思想的框架下，成为这种建模方法的特例.
1 数学建模思想
处处可导是光滑连续函数的特性，而离散时间序列是由离散的单点构成，通常意义下无导数可言，因此原则上不能用导数研究这类时间序列的性质.但是可以把离散时间序列视为连续情况下的离散化，这样就能从纯数学的角度出发，以微积分和差分为基础研究离散时间序列，并建立相应的微分方程组模型[5]. 设x（t），0≤t<∞是一个连续函数，定义
特别的，取Δt=1，（假设x（t）在Δt=1的范围内函数值变化不是很大），则有
在这里将研究范围拓展到多个时间序列，这就要用到多元时间序列分析[6].考虑一个非随机的k元时间序列
其中εkt是随机误差项.在寻找关系式时，可以考虑建立多元线性或非线性回归，或其他时间序列模型.
接下来把X（0）（t），X（1）（t）看作连续函数的离散化，其所在的连续函数不妨仍记为X（0）（t），X（1）（t），则
这种情况要求单位时间（Δt=1）上所研究的时间序列的数值变化不是很大，也就是说数据变化不能随机.给定一个显著性水平α（一般取α=0.05或α=0.01），对关系式①，②，…，?进行显著性检验，一般包括方程（即上诉关系式）的显著性检验（F检验）和回归系数的显著性检验（T检验）.另外，回归系数的求解采用最小二乘法.若关系式①，②，…，?能通过显著性检验，忽略εit，（i=1，2，…，k）则在置信度1-α下便可建立相应的一阶k元微分方程组模型
求解出的模拟值，从而实现对原序列的预测.鉴于导数还原值与累减还原值不可能完全一致，为减少往复运算造成的误差往往用X（1）（t）的残差修正X（1）（t）的模拟值.
有时候一次累加生成的新序列与原序列的关系不明显，这时可视X（1）（t）为新序列再进行一次累加生成X（2）（t），即X（0）（t）的2-AGO序列.则有，.理论上可对原始序列进行多次累加直至最后一次产生的新序列出现明显的趋势为止.理论可以证明，有界非负序列经多次累加所得的生成序列可充分光滑.设其n-AGO序列为X（n）（t），则
只要找到X（0）（t），X（1）（t），…，X（n）（t）的关系式 在一定置信水平上忽略εt便可建立一个k元n阶微分方程组模型
从中解出X（n）（t），进而求出X（0）（t）在应用中一般二、三次累加就可以得到理想结果.
通常情况下，一个时间序列Xt既有确定性趋势也有随机性趋势.可以表示为Xt=μ+εt，模型（1）和（2）刻画了时间序列的确定性部分，称为主题模型.对于随机误差εt，要求E（εt）=0，即εt是白噪声序列.若否，说明εt还有可提
多个关联确定性时间序列微分方程建模方法研究
