若
设设(3) 一.矩阵
阵
性质:(1)
sk?1性质:(1)
(5) 1?A?【注意】(1)
【注意】(1)
(3) (A?B)C性质:(1) (AB)C(9) ?A?O??1.矩阵的加法与数乘
2.矩阵的乘法与矩阵的幂
二.矩阵的基本运算及其性质
A
AB?BA,从而
A?(?A)?O
(7) (??)A??A??A
Ak?Al?Ak?l
A?B?B?A
?A(BC)
?0或A?O
第二部分 矩阵
(2) k(AB)(2) (Ak个klcij??aikbkj,i?1,2,?,m;j?1,2,?,n第二部分 矩阵
A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,则C?AB?(cij)m?n,其中
?AC?BC,C(A?B)?CA?CB
《线性代数》考研辅导讲义2
A与B可乘的条件是:左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数;
(2)积矩阵C?AB的行数等于左矩阵A的行数,列数等于右矩阵B的列数.
(A?B)2?A2?2AB?B2,(A?B)3?A3?3A2B?3AB2?B3A2?B2?(A?B)(A?B),A3?B3?(A?B)(A2?AB?B2)A?(aij)m?n,B?(bij)m?n,则A?B?(aij?bij)m?n,kA?(kaij)m?n.
AB?BA,则称A与B可交换,此时,以上代数公式都成立.
(2) AB?O推不出A?O或B?O;但若AB?O且A可逆,则B?O.(3) AB?AC推不出B?C,当若AB?AC且A可逆,则B?C.
kk?1??A??A?A,k?N.规定:A0?E,A?0时.设A为n阶矩阵,则A?A?A???矩阵的概念,n阶矩阵,行矩阵(行向量),列矩阵(列向量),零矩阵O,负矩阵,同型矩阵,矩阵的相等,单位矩
- 8 -(8) ?(A?B)(10) (?1)?A?(4)
)?Akl?A(6) (??)A??(?A)(2) (A?B)?CA?O?A?(kA)B?A(kB)??A??B??(?A)(4) EmAm?n?A?(B?C)?Am?nEn?A其中
设当设
Aij?(?1)i?jMij是A
(5)
T(3)
(2)设
性质:(1)
(3) (kA)(3) (AB)4.n阶矩阵
性质:(1) (A性质:(1) (A【注意】(1)
3.矩阵的转置:设
三.逆矩阵与伴随矩阵
n阶矩阵A?(aij)n?n的伴随矩阵
A?1?AT?ATT?1?kAT
A的行列式
kAn?knA;
?1?1?(A)?amAm???a1A?a0E?A11?AA*?(Aij)T?(Aji)??12????A1nA,B为n阶矩阵,则AB?A?B?BA?B?1A?1
1A.
)?A
)?A
A?B?A?B
(4) (AB)
(2)
T
(2) (kA)(4) (A中元素aij的代数余子式.
A?(aij)m?n,则AT?(aji)n?m.
A为n阶矩阵,?(x)?amxm???a1x?a0,则
?BTAT
第二部分 矩阵
(2) (A?B)A21?An1??A22?An2?????A2n?Ann?A?0时,称A为非奇异矩阵;否则,称A为奇异矩阵(即A?0).
1(A??E)k?Ak?Ck?Ak?1?Ck2?2Ak?2???Ckk?1?k?1A??kEA为n阶矩阵,若AB?BA?E,则称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B?A?1.
?d?b????ca??ab??(6) ???ab?cd?cd- 9 -,虽然
?1T?1?kA?kA)?(A?1)T?1T1?1Ak
(3)
(5) (ATkAB?BA;
?AT?BT)?(Ak)TA?A则aii设(4) (2) (1) (1) (9) (7) (10) (3)若(5) 若四.特殊矩阵4.对称矩阵: 1.对角矩阵: ?伴随矩阵的性质:
若
5.反对称矩阵:
A?1是惟一的;
2.数量矩阵(纯量矩阵): kEA?0,则(A*)*?AA可逆?A为非奇异矩阵;
AB?diag(a1b1,a2b2,?,anbn);
A?ATA?ATA??22n?2AB为对称矩阵?AB?BA.
A?0,则A*?AA?1,(A*)?1?.
(8)
A;
?n,当R(An)?n?*T**T(7) (A)?(A);(8) R(A)??1,当R(An)?n?1.
?0,当R(A)?n?1n?A?diag(a1,a2,?,an),B?diag(b1,b2,?,bn),则
A?B?diag(a1?b1,a2?b2,?,an?bn);
AA*?A*A?AE;显然A*可逆?A可逆;
第二部分 矩阵
1A?(A?1)*; A?1?1A?1?diag(a1?1,a2,?,an),a1,a2,?,an全不为零.
A可逆?A?0,且A?1?AT?A.有AT?A?aij?aji,i,j?1,2,?,n.A,B为实对称矩阵,则A?B,kA,AT,A?1,A*都是对称矩阵.但
A可逆??n阶矩阵B,使得AB?E(或BA?E),此时A?1?B.
3.三角矩阵:包括上、下三角矩阵.上(下)三角矩阵的和、差、积仍是上(下)三角矩阵.
?0,i?1,2,?,n.任何一个矩阵可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和,即
?diag(?1,?2,?,?n).对角矩阵的和、差、积、逆仍是对角矩阵,即
?diag(k,k,?,k).在矩阵的运算中与数的运算完全相同.
AT??A,有AT??A?aij??aji,i,j?1,2,?,n.从而若A为反对称矩阵,
- 10 -(3)
kkAk?diag(a1k,a2,?,an),k?N;
(6) (AB)*(2) (kAn)(4)
?B*A*;
1*A;A*A*?An?1?kn?1A*;
;
(3)
(1)
(2)若
(3)矩阵
2.初等矩阵
?EA??r?O?1六.分块矩阵
6.正交矩阵:
A??1;
(1)A?A
r3.矩阵的等价:A?B.
1.矩阵的初等行(列)变换
4.矩阵的秩:R(A)的定义.
(4)R(kA)?R(A),k?0;
5.用初等变换求R(A)与A(10)A?0?R(A)?n(即
(2)用初等矩阵左(或右)乘矩阵
(8)R(A?B)?R(A)?R(B);
行阶梯形矩阵、行最简形矩阵.
五.矩阵的初等变换与初等矩阵
(6)R(AB)?min{R(A),R(B)};
性质:(1)R(O)?0; (2)0?R(A)?min{m,n};
(1)初等矩阵均可逆,且其逆矩阵是同类的初等矩阵;
r(A|E)???(E|A);
O??,其中r?R(A).O?(2)A?B?B?A
AAT?ATA?E?A?1?AT.
?1A为满秩矩阵),故
(2)求A及解矩阵方程AX?C,XB?C,AXB?CA为可逆矩阵?A为非奇异矩阵?A为满秩矩阵.
A可逆?A可表示成若干个初等矩阵的乘积.
第二部分 矩阵
(1)求R(A):A?B(行阶梯形矩阵),则R(A)?B中非零行的行数.
r?(E|A?1C?X);AX?C?X?A?1C,则(A|C)??A为正交矩阵?A的行(或列)向量组为两两正交且单位化的向量组.
任一矩阵总可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
(9)R(A)?r?A中至少有一个r阶子式不为零;R(A)?r?A中所以r阶子式全为零.
rXB?C?X?CB?1?XT?(BT)?1CT,则(BT|CT)???(E|XT).
A,相当于对A作一次相应的初等行(或列)变换;
AB为n阶正交矩阵,则AT,A?1,AB也是正交矩阵,但kA(k??1)不是正交矩阵;
(5)R(PA)?R(AQ)?R(PAQ)?R(A),P,Q可逆;
(7)若Am?sBs?n?O?R(A)?R(B)?s;
- 11 -(3)A?B,B?C?A?C(3)R(A)?R(A);
T解
例2
二.求
方法二:
si?1(1)A?例1 设
解 方法一:
2.由(A?B)?A1.按行(或列)分块:
??A2注意:?????AsA??a1ki;
kk?A1?2.分块对角矩阵:A?????(3)若Ai(i?1,2,?,n)可逆,则
Ak的方法kkk?11.用A的归纳定义计算:A?A?A.
?101???nn?1? 设A?020,则A?2A???101???第二部分 矩阵
(2)A?diag(A1,A2,?,As),k?N;
A2?2A,则An?2An?1?An?2(A2?2A)?O.
a2?an?,B??b1b2?bn?Am?n?(a1,a2,?,an)---------按列分块;Am?n????diag(A,A,?,A),则
12s???As?A可逆,且A?1?diag(A1?1,A2?1,?,As?1).
A2?2A,A3?A?A2?2A2?22A,?,An?2n?1A?An?2An?1?O.
- 12 -一.行矩阵（向量）与列矩阵（向量）的乘积
?b1a1b1a2?nbabaAB??aibi,BA??2122???i?1??bna1bna2??CkiAiBk?i计算
?1i?0kkA2A1????1As??1?????????A?1??1典型例题
As?1???.????k?b1an???b2an?.?????bnan?T.,求
?b1???b??2?---------按行分块.??????bm?AB与BA.
《线性代数》考研辅导课本2
