建模参考资料 综合评价方法
一、关于评价指标
所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面．
从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值．例如，旅游景区质量等级有5A、4A、3A、2A和1A之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标．
从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标；
(3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标．
例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是(?10%,?5%)×标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标．投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标．
在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换
1 评价指标的处理方法
一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理．
1．指标的一致化处理
所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异．
(1) 极小型指标化为极大型指标
对极小型指标xj，将其转化为极大型指标时，只需对指标xj取倒数：
x?j?或做平移变换：
1， xjx?j?Mj?xj，
其中 Mj?max{xij}，即n个评价对象第j项指标值xij最大者．
1?i?n(2) 居中型指标化为极大型指标
对居中型指标xj，令 Mj?max{xij}， mj?min{xij}，取
1?i?n1?i?nMj?mj?2(xj?mj),m?x?;jj?2?Mj?mjx?j??
?2(Mj?xj),Mj?mj?x?M.jj?Mj?mj2?就可以将xj转化为极大型指标．
(3) 区间型指标化为极大型指标
对区间型指标xj，xj是取值介于区间[aj,bj]内时为最好，指标值离该区间越远就越差．令 Mj?max{xij}， mj?min{xij}， cj?max{aj?mj,Mj?bj},取
1?i?n1?i?n?aj?xj,xj?aj;?1?cj??x?j??1, aj?xj?bj;
?x?bj?1?j,xj?bj.cj??就可以将区间型指标xj转化为极大型指标．
类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指
标．
2．指标的无量纲化处理
所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程．因此，就有指标的实际值和评价值之分．—般地，将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值．无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程．
对于n个评价对象S1,S2,,Sn，每个评价对象有m个指标，其观测值分别为
xij(i?1,2,(1) 标准样本变换法
,n;j?1,2,,m)．
令
*xij?xij?xjsj (1?i?n,1?j?m).
1n1n*其中样本均值xj??xij，样本均方差sj?称为标准观测值． (xij?xj)2，xij?ni?1ni?1特点：样本均值为0，方差为1；区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相
*同；对于指标值恒定(sj?0)的情况不适用；对于要求指标评价值xij?0的评价方法(如
熵值法、几何加权平均法等)不适用．
(2) 线性比例变换法 对于极大型指标，令
x?对极小型指标，令
*ijxijmaxxij1?i?n*ij (maxxij?0, 1?i?n, 1?j?m).
1?i?nx?或
minxij1?i?nxij (1?i?n,1?j?m).
x?1?*ijxijmaxxij1?i?n (maxxij?0, 1?i?n, 1?j?m).
1?i?n该方法的优点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例．但对任一指标来说，变换后的xij?1和xij?0不一定同时出现．
*特点：当xij?0时，xij?[0,1]；计算简便，并保留了相对排序关系．
**(3) 向量归一化法 对于极大型指标，令
*xij?xij?xi?1n (1?i?n,1?j?m).
2ij对于极小型指标，令
*xij?1?xij?xi?1n (1?i?n,1?j?m).2ij
优点：当xij?0时，x?[0,1]，即*ij?(x)i?1n*2ij*?1．该方法使0?xij?1，且变换前
后正逆方向不变；缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同．
(4) 极差变换法
对于极大型指标，令
x?*ijxij?minxij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n (1?i?n, 1?j?m).
对于极小型指标，令
x?*ijmaxxij?xij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n (1?i?m, 1?j?n).
**其优点为经过极差变换后，均有0?xij?1，且最优指标值xij?1，最劣指标值*xij?0．该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标值恒定(sj?0)的情况
不适用．
(5) 功效系数法 令
x?c?*ijxij?minxij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n?d (1?i?n,1?j?m).
其中c,d均为确定的常数．c表示“平移量”，表示指标实际基础值，d表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则xij?[c,c?d]．
通常取c?60,d?40，即
*x?60?**ijxij?minxij1?i?nmaxxij?minxij1?i?n1?i?n?40 (1?i?n,1?j?m).
*则xij实际基础值为60，最大值为100，即xij?[60,100]．
特点：该方法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法，取值范围确定，最小值为c，最大值为c?d．
3．定性指标的定量化
在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性地描述，例如：质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等．对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化．一般来说，对于指标最优值可赋值10.0，对于指标最劣值可赋值为0.0．对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值．
(1) 极大型定
很低 低 一般 高 很高 性指标 量
3.0 5.0 7.0 9.0 10.0 化0 1.0 方法 对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等
级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图2所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．
图2 极大型定性指标量化方法
(2) 极小型定性指标量化方法
对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图3所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．
很高 高 一般 低 很低
0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 10.0
数学建模综合评价方法
