第六讲 双曲线
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测 知识梳理
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的__焦点__,两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__.
注:设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0; (1)当a<c时,P点的轨迹是__双曲线__; (2)当a=c时,P点的轨迹是__两条射线__; (3)当a>c时,集合P是__空集__. 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2-=1(a>0,b>0) a2b2y2x2-=1(a>0,b>0) a2b2图形 范围 对称性 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标: 顶点坐标: 顶点 性 质 渐近线 离心率 A1__(-a,0)__, A2__(a,0)__ by= ±x aA1__(0,-a)__, A2__(0,a)__ ay= ±x bce=,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2 a线段A1A2叫做双曲线的__实轴__,它的长|A1A2|=__2a__;线段B1B2叫实虚轴 做双曲线的__虚轴__,它的长|B1B2|=__2b__;__a__叫做双曲线的__实半轴长__,b叫做双曲线的__虚半轴长__ a、b、c c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) - 1 -
的关系 重要结论
双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e=2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
2b(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径).
2
a过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为值为2a.
2b2
a;与两支相交所得弦长的最小(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|.
(5)双曲线的离心率公式可表示为e=b21+2. a双基自测
题组一 走出误区
1.(多选题)下列结论正确的是( CD )
A.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
x2y2
B.方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线
mnC.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2
x2y2x2y211
D.若双曲线2-2=1(a>0,b>0)与2-2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则2+2
abbae1e2
=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)
题组二 走进教材
x2y2
2.(必修2P61T1)若双曲线2-2=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则
ab该双曲线的离心率为( A )
A.5 C.2
B.5 D.2
[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为±=0,
- 2 -
xyabbcc2222222
即bx±ay=0,∴2a=22=b.又a+b=c,∴5a=c.∴e=2=5,∴e=5.
aa+bx2y2x2y2
3.(必修2P61A组T3)已知a>b>0,椭圆C1的方程为2+2=1,双曲线C2的方程为2-2=
abab1,C1与C2的离心率之积为
A.x±2y=0 C.x±2y=0
3
,则C2的渐近线方程为( A ) 2
B.2x±y=0 D.2x±y=0
a2-b2a2+b2a2-b2a2+b2
[解析] 椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以·
aaaa=
3144
,即a=4b,所以a=2b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±x,即x±2y=0. 22题组三 考题再现
x2y2
4.(2024·全国卷Ⅱ)双曲线2-2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为
ab( A )
A.y=±2x C.y=±
2x 2
B.y=±3x D.y=±
3x 2
[解析] 由题意e==
ca1+
ba2
=3,∴=2,
ba∴双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选A.
x2y25
5.(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,
ab2
且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( B )
123
A.-=1
810C.-=1
54
x2y2
x2y2
B.-=1
45D.-=1
43
x2y2x2y2
x2y2
[解析] 椭圆+=1的一焦点为(3,0),
123∴双曲线C中有c=3,且焦点在x轴上, 又=2
x2y2
ba5222
,且c=a+b, 2
2
∴a=4,b=5,∴C的方程为-=1,故选B.
45
x2y2
- 3 -
(山东专用)2024版高考数学一轮复习第八章解析几何第六讲双曲线学案(含解析)



