第六讲 双曲线
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测 知识梳理
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__； (2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__； (3)当a＞c时，集合P是__空集__． 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2图形 范围 对称性 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标： 顶点坐标： 顶点 性 质 渐近线 离心率 A1__(－a,0)__， A2__(a,0)__ by＝ ±x aA1__(0，－a)__， A2__(0，a)__ ay＝ ±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫实虚轴 做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__ a、b、c c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) - 1 -
的关系 重要结论
双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
2b(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径)．
2
a过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为值为2a．
2b2
a；与两支相交所得弦长的最小(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝b21＋2． a双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是( CD )
A．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
x2y2
B．方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线
mnC．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2
x2y2x2y211
D．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与2－2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则2＋2
abbae1e2
＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)
题组二 走进教材
x2y2
2．(必修2P61T1)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则
ab该双曲线的离心率为( A )
A．5 C．2
B．5 D．2
[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，
- 2 -
xyabbcc2222222
即bx±ay＝0，∴2a＝22＝b.又a＋b＝c，∴5a＝c.∴e＝2＝5，∴e＝5．
aa＋bx2y2x2y2
3．(必修2P61A组T3)已知a>b>0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝
abab1，C1与C2的离心率之积为
A．x±2y＝0 C．x±2y＝0
3
，则C2的渐近线方程为( A ) 2
B．2x±y＝0 D．2x±y＝0
a2－b2a2＋b2a2－b2a2＋b2
[解析] 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·
aaaa＝
3144
，即a＝4b，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±2y＝0. 22题组三 考题再现
x2y2
4．(2024·全国卷Ⅱ)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为
ab( A )
A．y＝±2x C．y＝±
2x 2
B．y＝±3x D．y＝±
3x 2
[解析] 由题意e＝＝
ca1＋
ba2
＝3，∴＝2，
ba∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选A．
x2y25
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，
ab2
且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( B )
123
A．－＝1
810C．－＝1
54
x2y2
x2y2
B．－＝1
45D．－＝1
43
x2y2x2y2
x2y2
[解析] 椭圆＋＝1的一焦点为(3,0)，
123∴双曲线C中有c＝3，且焦点在x轴上， 又＝2
x2y2
ba5222
，且c＝a＋b， 2
2
∴a＝4，b＝5，∴C的方程为－＝1，故选B．
45
x2y2
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(山东专用)2024版高考数学一轮复习第八章解析几何第六讲双曲线学案(含解析)
