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幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

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幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 教学目标

1.理解并记忆对数的定义,对数与指数的互化,对数恒等式及对数的性质. 2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程. 3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题. 教学重点与难点

重点是对数定义、对数的性质和运算法则.难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称,以及运算法则的推导. 教学过程设计 师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为%,求20年后国民生产总值是原来的多少倍

生:设原来国民生产总值为1,则20年后国民生产总值y=(1+%)20=,所以20年后国民生产总值是原来的倍.

师:这是个实际应用问题,我们把它转化为数学中知道底数和指数,求幂值的问题.也就是上面学习的指数问题. 师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为%,问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍 师:(分析)仿照上例,设原来国民生产总值为1,需经x年后国民生产总值是原来的4倍.列方程 =4.

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值,求指数的问题,这是上述问题的逆问题,即本节的对数问题. 师:(板书)一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作 logaN=b,

其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式. 师:请同学谈谈对对数这个定义的认识.

生:对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法. 生:对数是一种新的运算.是知道底和幂值求指数的运算. (此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识,只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会.)

师:他们说得都非常好.实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a,b,N,由方程的观点可得“知二求一”.知道a,b可求N,即前面学过的指数运算;知道b(为自然数时),N可求a,即初中学过的开

记作logaN=b.因此,对数是一种新的运算,一种知道底和幂值求指数的运算.而每学一种新的运算,首先要学习它的记法,对数运算的记法为logaN,读作:以a为底N的对数.请同学注意这种运算的写法和读法. 师:实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式.为了更深入认识并记忆对数这个概念,请同学们填写下列表格.(打出幻灯) 式子

名称 a b N 指数式 对数式 ab=N logaN=b

练习1 把下列指数式写成对数形式:

练习2 把下列对数形式写成指数形式:

练习3 求下列各式的值:

(两名学生板演练习1,2题(过程略),一生板演练习三.) 因为22=4,所以以2为底4的对数等于2.

因为53=125,所以以5为底125的对数等于3. (注意纠正学生的错误读法和写法.)

师:由定义,我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么 生:a>0且a≠1;b∈R;N∈R.

师:N∈R(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.) 生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N中N总是正数. 师:要特别强调的是:零和负数没有对数. 师:定义中为什么规定a>0,a≠1 (根据本班情况决定是否设置此问.)

生:因为若a<0,则N取某些值时,b可能不存在,如b=log(-2)8不存在;若a=0,则当N不为0时,b不存在,如log02不存在;当N为0时,b可以为任何正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log13不存在,N为1时,b可以为任何数,是不唯一的,即log11有无数多个值.因此,我们规定:a>0,a≠1.

(此回答能培养学生分类讨论的数学思想.这个问题从ab=N出发回答较为简单.) 师:下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数. 师:(板书)对数logaN(a>0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数,简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数,记作lnN,其中e是个无理数,即e≈ 28……. 练习4 计算下列对数: lg10000,,2log24,3log327,10lg105,5log51125. 师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想. 生:2log24=4.这是因为log24=2,而22=4. 生:3log327=27.这是因为log327=3,而33=27. 生:10lg105=105.

生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125.

师:非常好.这就是我们下面要学习的对数恒等式. 师:(板书)

alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线) (再次鼓励学生,并提出更高要求,给出严格证明.) (学生讨论,并口答.) 生:(板书)

证明:设指数等式ab=N,则相应的对数等式为logaN=b,所以ab=alogaN=N. 师:你是根据什么证明对数恒等式的 生:根据对数定义. 师:(分析小结)证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知识只有定义,所以显然要利用定义加以证明.而对数定义是建立在指数基础之上的,所以必须先设出指数等式,从而转化成对数等式,再进行证明. 师:掌握了对数恒等式的推导之后,我们要特别注意此等式的适用条件. 生:a>0,a≠1,N>0.

师:接下来观察式子结构特点并加以记忆. (给学生一分钟时间.) 师:(板书)2log28=2log42= 生:2log28=8;2log42=2. 师:第2题对吗错在哪儿

师:(继续追问)在运用对数恒等式时应注意什么

(经历上面的错误,使学生更牢固地记住对数恒等式.) 生:当幂的底数和对数的底数相同时,才可以用公式 alogaN=N.

(师用红笔在两处a上重重地描写.) 师:最后说说对数恒等式的作用是什么 生:化简!

师:请打开书74页,做练习4. (生口答.略)

师:对对数的定义我们已经有了一定认识,现在,我们根据定义来进一步研究对数的性质. 师:负数和零有没有对数并说明理由.

生:负数和零没有对数.因为定义中规定a>0,所以不论b是什么数,都有ab>0,这就是

说,不论b是什么数,N=ab永远是正数.因此,由等式b=logaN可以看到,负数和零没有对数.

师:非常好.由于对数定义是建立在指数定义的基础之上,所以我们要充分利用指数的知识来研究对数. 师:(板书)性质1:负数和零没有对数. 师:1的对数是多少

生:因为a0=1(a>0,a≠1),所以根据对数定义可得1的对数是零. 师:(板书)1的对数是零. 师;底数的对数等于多少

生:因为a1=a,所以根据对数的定义可得底数的对数等于1. 师:(板书)底数的对数等于1.

师:给一分钟时间,请牢记这三条性质.

师:在初中,我们学习了指数的运算法则,请大家回忆一下.

生:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n.同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am÷an=am-n.还有(am)n=amn;

师:下面我们利用指数的运算法则,证明对数的运算法则.(板书) (1)正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和.即 loga(MN)=logaM+logaN. (请两个同学读法则(1),并给时间让学生讨论证明.) 师:(分析)我们要证明这个运算法则,用眼睛一瞪无从下手,这时我们该想到,关于对数我们只学了定义和性质,显然性质不能证明此式,所以只有用定义证明.而对数是由指数加以定义的,显然要利用指数的运算法则加以证明,因此,我们首先要把对数等式转化为指数等式. 师:(板书)设logaM=p,logaN=q,由对数的定义可以写成M=ap,N=aq.所以 M·N=ap·aq=ap+q, 所以

loga(M·N)=p+q=logaM+logaN. 即

loga(MN)=logaM+logaN.

师:这个法则的适用条件是什么

生:每个对数都有意义,即M>0,N>0;a>0且a≠1. 师:观察法则(1)的结构特点并加以记忆.

生:等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算. 师:非常好.例如,(板书)log2(32×64)= 生:log2(32×64)=log232+log264=5+6=11.

师:通过此例,同学应体会到此法则的重要作用——降级运算.它使计算简化. 师:(板书)log62+log63=

生:log62+log63=log6(2×3)=1. 师:正确.由此例我们又得到什么启示

生:这是法则从右往左的使用.是升级运算.

师:对.对于运算法则(公式),我们不仅要会从左往右使用,还要会从右往左使用.真正领会法则的作用! 师:(板书)(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数.

师:仿照研究法则(1)的四个步骤,自己学习. (给学生三分钟讨论时间.) 生:(板书)设logaM=p,logaN=q.根据对数的定义可以写成M=ap,N=aq.所以

师:非常好.他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的.大家再想一想,在证明法则(2)时,我们不仅有对数的定义和性质,还有法则(1)这个结论.那么,我们是否还有其它证明方法 生:(板书)

师:非常漂亮.他是运用转化归结的思想,借助于刚刚证明的法则(1)去证明法则(2).他的证法要比书上的更简单.这说明,转化归结的思想,在化难为易、化复杂为简单上的重要作用.事实上,这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到,而且在解题中的应用更加广泛.

师:法则(2)的适用条件是什么 生:M>0,N>0;a>0且a≠1.

师:观察法则(2)的结构特点并加以记忆.

生:等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算.

师:(板书)lg20-lg2=

师:可见法则(2)的作用仍然是加快计算速度,也简化了计算的方法. 师:(板书) 例1 计算: 生:(板书) 解

(1)log93+log927=log93×27=log981=2;

(3)log2(4+4)=log24+log24=4;

(由学生判对错,并说明理由.)

生:第(2)题错!在同底的情况下才能运用对数运算法则.(板书)

生:第(3)题错!法则(1)的内容是:

生:第(4)题错!法则(2)的内容是:

幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标1.理解并记忆对数的定义,对数与指数的互化,对数恒等式及对数的性质.2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程.3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题.教学重点与难点重点是对数定义、对数的性质和运算法则.难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称,以及运算法则的推导.教学过
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