2020届高考步步高数学（理）一轮复习（京津鲁琼用解析版）第五章 5.5

§5.5 复 数

最新考纲 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类：

满足条件(a，b为实数) a＋bi为实数?b＝0 复数的分类 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

→

(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)． 2．复数的几何意义

→

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

1

→→→

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，→→→Z1Z2＝OZ2－OZ1.

概念方法微思考

1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？

提示 不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？

提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．

( √ )

题组二 教材改编

1－i

2．设z＝＋2i，则|z|等于( )

1＋i1

A．0 B. C．1 D.2

2答案 C

1－i?1－i?2－2i

解析 ∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，

21＋i?1＋i??1－i?∴|z|＝1.故选C.

→→→

3．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是( )

A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案 D

2

→→→

解析 CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.

4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 C．1 答案 A

2??x－1＝0，

解析 ∵z为纯虚数，∴?∴x＝－1.

?x－1≠0，?

B．0 D．－1或1

题组三 易错自纠

b

5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )

iA．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C

b

解析 ∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复

ib

数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.

i

6．(2018·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B

2－2i?2－2i?·?－i?解析 由题意，∵z＝＝＝－2－2i，

ii·?－i?

∴z＝－2＋2i，则z的共轭复数z对应的点在第二象限．故选B. 7．i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________. 答案 －i

解析 原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.

B．第二象限 D．第四象限

题型一 复数的概念

1．(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为( )

3

3A. 53C.i 5答案 B

解析 因为(1＋2i)z＝1－i，

3B．－

53D．－i 5

1－i?1－i??1－2i?－1－3i

所以z＝＝＝，

551＋2i3

因此复数z的虚部为－，故选B.

5

2＋i

2．(2019·钦州质检)复数的共轭复数是( )

1＋i31A．－＋i

2231C.－i 22答案 D

2＋i(2＋i)?1－i?3－i3131

解析 由复数＝＝＝－i，所以共轭复数为＋i，故选D.

222221＋i?1＋i??1－i?3．(2018·烟台模拟)已知复数A．－4 C．1 答案 C 解析

a＋2i?a＋2i??2＋i?2a－2＋?a＋4?i

＝＝，

52－i?2－i??2＋i?

a＋2i

是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于( ) 2－i

B．4 D．－1 31B．－－i

2231D.＋i 22

a＋2i∵复数为纯虚数，∴2a－2＝0且a＋4≠0，

2－i解得a＝1.故选C.

思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．

题型二 复数的运算

命题点1 复数的乘法运算

例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( ) A．－3－i C．3－i

B．－3＋i D．3＋i

4

答案 D

解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i. (2)i(2＋3i)等于( ) A．3－2i C．－3－2i 答案 D

解析 i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D. 命题点2 复数的除法运算

1＋2i

例2 (1)(2018·全国Ⅱ)等于( )

1－2i43A．－－i

5534C．－－i

55答案 D

1＋2i?1＋2i?21－4＋4i解析 ＝＝

1－2i?1－2i??1＋2i?1－?2i?2＝

－3＋4i34

＝－＋i. 555

43

B．－＋i

5534D．－＋i

55B．3＋2i D．－3＋2i

故选D.

(2)(2018·烟台模拟)已知i是虚数单位，若复数z满足z(1＋i)＝1－i，则z等于( ) A．i B．－i C．1＋i D．1－i 答案 A

1－i?1－i??1－i?解析 由题意，复数z＝＝＝－i，

1＋i?1＋i??1－i?所以z＝i，故选A. 命题点3 复数的综合运算

例3 (1)(2018·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z，则z等于( ) A.2 C．5 答案 C

－1＋7i?－1＋7i??1－i?解析 z＝＝＝3＋4i，

21＋i故z＝3－4i?|z|＝5，故选C.

B．3＋4i D．7

||

5