第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算
课题：空间向量及其运算
一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：
1．a,b向量共线的充要条件： ； 2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：
1．如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若
AB?a，AD?b，
AA1?c，则下列向量中与BM相等的向量是（ ） (A)?D1MB1C11111a?b?c (B)a?b?c 2222AA1DBC1111?a?b?c (D)a?b?c (C)22222．有以下命题：
①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；
②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面； ③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 （ ）
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
3．下列命题正确的是 （ ）
(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面； (C)零向量没有确定的方向； (D)若a//b，则存在唯一的实数?使得a??b；
4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的
是 （ ）
(A)OM?OA?OB?OC (B)OM?2OA?OB?OC
11111(C)OM?OA?OB?OC (D)OM?OA?OB?OC
23333四．例题分析：
例1．已知在正三棱锥P?ABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点，求证：PG?BC
P
M
G
C A
N
B
例2．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点， （1） 用向量法证明E,F,G,H四点共面； （2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有
1OM?(OA?OB?OC?OD)
4
A
E B F C
H M G
O
D
例3．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且
?AA1B1??AA1D1?120?，求（1）AC1的长；（2）直线BD1与ACD1 所成角的余弦值。
C1
A1 B1 D
A B
C
五．课后作业：
1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OP?xOA?yOB?zOC是点P,A,B,C共面的 （ ）
(A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2．棱长为a的正四面体中，AB?BC?AC?BD? 。
3．向量a,b,c两两夹角都是60，|a|?1,|b|?2,|c|?3，则|a?b?c|? 。
4．已知正方体ABCD?A1B1C1D1，点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：
（1）AC1?x(AB?BC?CC1)，则x? ；
（2）AE?AA1?xAB?yAD，则x? ；y? ； （3）AF?AD?xAB?yAA1，则x? ；y? ；
5．已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量： （1）AB?C1B1?CD1? ； （2）AB?AD?AA1? 。
6．设ABCD?A1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且BN?3NC1，设MN?aAB?bAD?cAA1，试求a,b,c的值。
7．空间四边形OABC中，OA?8,AB?6,AC?4,BC?5,?OAC?45,?OAB?60，求OA与BC夹角的余弦值。
8．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分别为平行六面体棱的中点，
D1L求证：（1）LE?FG?HK?0
A1EB1KFDCAGBHC1
高考数学一轮复习必备 空间向量及其运算
