赵凯华所编电磁学第二版答案

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赵凯华所编电磁学第二版

答案

Prepared on 22 November 2024

第一章静电场

§ 静电的基本现象和基本规律思考题： 1、

给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等

量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等

答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。 2、

带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。

试解释之。

答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。 3、

用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。戴上橡皮手套，握着铜棒和丝

绸摩擦，铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果

答：人体是导体。当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。

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§ 电场电场强度思考题： 1、

在地球表面上通常有一竖直方向的电场，电子在此电场中受到一个向上

的力，电场强度的方向朝上还是朝下

答：电子受力方向与电场强度方向相反，因此电场强度方向朝下。 2、

在一个带正电的大导体附近P点放置一个试探点电荷q0(q0>0),实际测得

它受力F。若考虑到电荷量q0不是足够小的，则F/ q0比P点的场强E大还是小若大导体带负电，情况如何

答：q0不是足够小时，会影响大导体球上电荷的分布。由于静电感应，大导体球上的正电荷受到排斥而远离P点，而F/q0是导体球上电荷重新分布后测得的P点场强，因此比P点原来的场强小。若大导体球带负电，情况相反，负电荷受吸引而靠近P点，P点场强增大。 3、

两个点电荷相距一定距离，已知在这两点电荷连线中点处电场强度为

零。你对这两个点电荷的电荷量和符号可作什么结论答：两电荷电量相等，符号相反。 4、

一半径为R的圆环，其上均匀带电，圆环中心的电场强度如何其轴线上

场强方向如何

答：由对称性可知，圆环中心处电场强度为零。轴线上场强方向沿轴线。当带电为正时，沿轴线向外；当带电为负时，沿轴线向内，

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- § 高斯定理思考题：

1、一般地说，电力线代表点电荷在电场中运动的轨迹吗为什么

答：一般情况下，电力线不代表点电荷在电场中运动的轨迹。因为电力线一般是曲线，若电荷沿电力线作曲线运动，应有法向力存在；但电力线上各点场强只沿切线方向，运动电荷必定偏离弯曲的电力线。仅当电力线是直线，且不考虑重力影响时，初速度为零的点电荷才能沿着电力线运动。若考虑重力影响时，静止的点电荷只能沿竖直方向电力线运动。 2、

空间里的电力线为什么不相交

答：电力线上任一点的切线方向即为该点场强方向。如果空间某点有几条电力线相交，过交点对每条电力线都可作一条切线，则交点处的场强方向不唯一，这与电场中任一点场强有确定方向相矛盾。 3、

一个点电荷q放在球形高斯面的中心处，试问在下列情况下，穿过这高

斯面的电通量是否改变

（1）如果第二个点电荷放在高斯球面外附近；（2）如果第二个点电荷放在高斯球面内；

（3）如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面内。答：由于穿过高斯面的电通量仅与其内电量的代数和有关，与面内电荷的分布及面外电荷无关，所以（1）；（2）；（3）

4、（1）如果上题中高斯球面被一个体积减小一半的立方体表面所代替，而点电荷在立方体的中心，则穿过该高斯面的电通量如何变化（2）通过这立方体六个表面之一的电通量是多少

答：（1）立方形高斯面内电荷不变，因此电通量不变；

（2）通过立方体六个表面之一的电通量为总通量的1/6。即 5、

附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面S。试定

性地回答，在将一正点荷q移至导体表面的过程中，（1） A点的场强大小和方向怎样变化（2） B点的场强大小和方向怎样变化（3）通过S面的电通量如何变化

答：由于电荷q的作用，导体上靠近A点的球面感应电荷-q′，远离A点的球面感应等量的+q′,其分布与过电荷q所在点和球心O的联线成轴对称，故±q′在A、B两点的场强E′沿AOB方向。

（1） E=E0+E′，q移到A点前，E0和E′同向，随着q的移近不断增大，总场强EA也不断增大。q移过A点后，E0反向，且E0> E′，EA方向与前相反。随着q的远离A点，E0不断减小，±q′和E′增大，但因E′始终小于E0，所以EA不断减小。

（2）由于q及±q′在B点的场强始终同向，且随着q移近导体球，二者都增大，所以EB不断增大。

（3） q在S面外时，面内电荷代数和为零，故Φ=0；q在S面内时，Φ=q/ε0；当q在S面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时Φ=△q/ε0，△q为带电体处于S面内的那部分电量。 6、

有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上，在此气球被吹大的过

程中，下列各处的场强怎样变化

（1）始终在气球内部的点；（2）始终在气球外部的点；（3）被气球表面掠过的点。

答：气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分布也呈球对称。由高斯定理可知：始终在气球内部的点，E=0，且不发生变化；

始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化；

被气球表面掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面内时，E=0，所以场强发生跃变。 7、

求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与

带电面平行且对称的柱体的形状具体地说，

（1）为什么柱体的两底面要对于带电面对称不对称行不行（2）柱体底面是否需要是圆的面积取多大合适（3）为了求距带电平面为x处的场强，柱面应取多长

答：（1）对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直。只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有E1=E2=E，从而求得E。如果两底在不对称，由于不知E1和E2的关系，不能求出场强。若已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称。

（2）底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意。

（3）求距带电面x处的场强时，柱面的每一底应距带电面为x，柱体长为2x。同样，若已先证明场强处处相等，则柱面的长度可任取。

17、求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一个高斯面

答：如果先用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。在这样的计算过程中，只取了一个高斯面。

18、已知一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间内任一点都没有电荷吗

答：不一定。高斯面上E=0，S内电荷的代数和为零，有两种可能：一是面内无电荷，如高斯面取在带电导体内部；二是面内有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔内有电荷q时，将高斯面取在导体中，S包围导体内表面的情况。

19、要是库仑定律中的指数不恰好是2（譬如为3），高斯定理是否还成立答：不成立。设库仑定律中指数为2+δ，

穿过以q为中心的球面上的电通量为，此时通量不仅与面内电荷有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立。

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第二章静电场中的导体和电介质

§ 静电场中的导体

思考题：

1、试想放在匀强外电场Ｅ０中的不带电导体单独产生的电场E′的电力线是什么样子（包括导体内和导体外的空间）。如果撤去外电场Ｅ０，E′的电力线还会维持这个样子吗

答：电场Eˊ的特征有：（1）静电平衡时，在导体内部，E0和Eˊ的矢量和处处为零。因此Eˊ的电力线在导体内部是与E0反向的平行直线；（2）导体上的等量异号电荷，在离导体足够远处激发的场，等效于一个电偶极子激发的场，因此其电力线也等效于电偶极子电场的电力线；（3）导体上电荷密度大的地方，电力线的数密度较大；（4）在导体表面附近，E0和Eˊ的矢量和的方向一定垂直于导体表面。因此， Eˊ的方向相对于E0一定位于表面法线的另一侧。

Eˊ的电力线分布如图所示。值得注意的是，单独考虑感应电荷的场Eˊ时，导体并非等位体，表面也并非等位面，所以感应电荷激发的场的电力线在外表面上会有一些起于正电荷而止于负电荷。

如果撤去外电场E0，静电平衡被破坏，，Eˊ的电力线不会维持这个样子。最后Eˊ将因导体上的正、负电荷中和而消失。

2、无限大带电面两侧的场强E??/2?0，这个公式对于靠近有限大小带电面的地方也适用。这就是说，根据这个结果，导体表面元△S上的电荷在紧靠它的地方产生的场强也应是?/2?0，它比导体表面处的场强小一半。为什么答：可以有两种理解：（1）为了用高斯定理求场强，需作高斯面。在两种情形下，通过此高斯面的电通量都是?S/?0，但在前一种情况，由于导体内部场强为零，通过位于导体内部的底面的电通量为零，因而造成两公式不同；（2）如果两种情况面电荷密度相同，无限大带电平面的电力线对称地

分布在带电面两侧，而导体表面电力线只分布在导体外侧，因此电力线的密度前者为后者的二分之一，故场强也为后者的二分之一。

3、根据式E??/?0，若一带电导体面上某点附近电荷面密度为σ，这时该点外侧附近场强为E??/?0，如果将另一带电体移近，该点的场强是否改变公式E??/?0是否仍成立

答：场强是所有电荷共同激发的。另一带电体移近时，由于它的影响和导体上

电荷分布的变化，该点的场强E要发生变化。当达到静电平衡时，因为表面附近的场强总与导体表面垂直，应用高斯定理，可以证明E??/?0仍然成立，不过此时的σ是导体上的电荷重新分布后该点的电荷密度。 4、把一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内产生的电场是否等于零静电屏蔽效应是怎样体现的

答：带电体单独在导体空腔内产生的场强不为零。静电平衡的效应表现在，这个场强与导

体外表面感应电荷激发的场强，在空腔内的矢量和处处为零，从而使空腔内的场不受壳外带电体电场的影响。

5、万有引力和静电力都服从平方反比定律，都存在高斯定理。有人幻想把引力场屏蔽起来，这能否作到引力场和静电力有什么重要差别

答：产生静电平衡的关键，在于导体中存在两种电荷，而且负电荷（电子）在

电场力作用下能够自由移动，因此在外电场作用下，能够形成一附加电场，使得在导体壳内总场强为零。引力场与此不同，引力场的源只有一种，因此在外部引力场的作用下不可能产生一附加引力场，使得物质壳内部的引力场处处为零，所以屏蔽引力场是不可能的。两种场的重要差别在

于：静电场的源有两种，相应的电荷之间的作用力也有两种，引力和斥力；引力场的源只有一种，相应的物质的引力相互作用只有一种引力。 6、（1）将一个带正电的导体A移近一个不带电的绝缘导体B时，导体B的电位是升高还是降低为什么

（2）试论证：导体B上每种符号感应电荷的数量不多于A上的电量。答：（１）A移近时，B的电位将升高。因为带电体A移近时，B上将出现感

应电荷，靠近A的一边感应电荷为负，远离A的一边为正。从A上正电荷发出的电力线，一部分终止于负的感应电荷上，正的感应电荷发出的电力线延伸至无限远，由于同一电力线其起点的电位总是高于终点的电位，若选取无限远处的电位为零，则正的感应电荷所在处（导体Ｂ）的电位大于零。静电平衡时，导体Ｂ为等位体，因此整个导体Ｂ的电位大于零，而在Ａ未移近之前，Ｂ的电位为零。可见，当Ａ移近时，Ｂ的电位升高了。（２）从A上正电荷发出的电力线，一部分终止于Ｂ上，其余延伸至无限

远处，因此Ｂ上的负电荷电量小于Ａ上的正电荷电量，且Ｂ上感应电荷总是等量异号的，所以Ｂ导体上每种电荷的电量均少于Ａ上的电荷。 7、将一个带正电的导体A移近一个接地的导体B时，导体B是否维持零电位其上是否带电

答：导体B与大地等电位，电位仍为零。不论B导体原来是否带电，由于A所带电荷的符号、大小和位置的影响，B将带负电。

8、一封闭的金属壳内有一个带电量 q的金属物体。试证明：要想使这金

属物体的电位与金属壳的电位相等，唯一的办法是使q=0 。这个结论与金属壳是否带电有没有关系

答：若q≠0，金属壳的电位与带电金属物体的电位不等。应用高斯定理可证明，金属壳内表面上带负电，电量为-q ,从带电的金属物体上发出的电力线终止于金属壳的内表面上，因此带电金属物体的电位高于金属壳的电位。反之，若q=0，金属壳和金属物体之间无电场，电荷从它们中的一个移向另一个的过程中，没有电场力做功，所以它们之间无电位差。

由于静电屏蔽效应，金属壳带电与否，不会影响金属壳表面上所包围区域内的场强和电位差，所以，金属壳是否带电对以上证明的结论没有影响。 9、有若干个互相绝缘的不带电导体Ａ、B、C、…，它们的电位都是零。如果把其中任一个如A带上正电，证明：（1）所有这些导体的电位都高于零；（2）其他导体的电位都低于A的电位。

答：（１）与６题解释相同。当选无限远处电位为零时，一个不带电的绝缘导体附近放入一个带正电的物体时，这个导体的电位将升高。因此电位不为零的带正电绝缘导体Ａ将使Ｂ、Ｃ、…的电位高于零。

（２）由Ａ发出的电力线总有一部分终止在其他各导体的负的感应电荷上，

由于电力线指向电位降低的方向，所以其他导体的电位都会低于Ａ的电位。

10、两导体上分别带有电量-q和2q ,都放在同一个封闭的金属壳内。证明：电荷为+2q的导体的电位高于金属壳的电位。

答：应用高斯定理可证明，金属壳内表面的感应电荷为－q。从电荷２q的导体

表面发出的电力线将有一部分终止于金属壳内表面的负电荷上，根据电力线起点电位高于终点电位的性质，电荷为２q的导体的电位高于金属壳的电位。

11、一封闭导体壳Ｃ内有一些带电体，所带电量分别为q1、q2、…，Ｃ外也

有一些带电体，所带电量分别为Ｑ1、Ｑ2、…。问：（１）q1、q2、…的大小对Ｃ外电场强度和电位有无影响

（２）当q1、q2、…的大小不变时，它们的分布形状对Ｃ外的电场强度和电位影响如何

（３）Ｑ1、Ｑ2、…的大小对Ｃ内的电场强度和电位有无影响

（４）当Ｑ1、Ｑ2、…的大小不变时，它们的分布形状对Ｃ内的电场强度

和电位影响如何

答：（１）有影响。壳内电荷在壳的外表面产生等量同号的感应电荷，这些感

应电荷将要影响壳外的电场强度和电位。

（２）没有影响。腔内带电体上发出的电力线全部终止于内表面的等量异号的感应电荷上，空腔内电荷分布发生变化时，内表面上感应电荷的分布也随之发生变化，但力线不穿过导体壳，因此只要腔内带电体的总电量不变，导体壳外表面的电荷量就一定，而这些电荷的分布状态仅取决于外表

面的形状。形状一定，电荷分布就一定，壳外电场和相对于壳外任意点的电位也就一定。

（３）对Ｃ内的电场强度无影响，对电位有影响，但对两点之间的电位差无影响。因为外面电荷的场强与导体壳上感应电荷的场强在腔内的矢量和处处为零，因此外部电荷对腔内的电场强度没有影响，因而对Ｃ内两点之间的电位差也无影响。但是导体壳相对于壳外任意点的电位要受壳外电场，即壳外电荷大小的影响，而腔内各点的电位与导体壳的电位有关，所以腔内的电位受外部电荷大小的影响。

（４）对Ｃ内的场强无影响，对电位差也没有影响，但对电位有影响。理由同上。

12、若上题中Ｃ接地，情况如何

答：当Ｃ接地时，导体壳内和导体壳外将不发生任何互相影响。

13、（１）一个孤立导体球带电Ｑ，其表面场强沿什么方向Ｑ在其表面上的

分布是否均匀其表面是否等电位电位有没有变化导体内任一点Ｐ的场强是多少为什么

（２）当把另一带电体移近这个导体球时，球表面场强沿什么方向其上的电荷

分布是否均匀其表面是否等电位电位有没有变化导体内任一点Ｐ的场强有无变化为什么

答：（１）一个孤立带电导体球，其表面场强必与表面垂直，即沿半径方向，

否则不会处于静电平衡状态。场的分布具有球对称性，球面上各点的电场

强度数值相同，根据E??/?0，球面上各点的电荷密度也相同，即电荷分布是均匀的。既然场强总是垂直于球面，所以球面是等位面。导体内任一点Ｐ的场强为零。

（２）当把另一带电体移近时，达到静电平衡后，球面的场强仍与表面垂

直，否则将不会处于静电平衡状态。这时，场的分布不再具有球对称性，球面附近各点的场强数值不同，因而电荷分布不是均匀的。既然导体表面处的场强仍处处垂直于导体表面，故表面仍为等位面。导体球的电位将升高。导体内任一点Ｐ的场强仍为零。

１４、（１）在两个同心导体球Ｂ、Ｃ的内球上带电Ｑ，Ｑ在其表面上的分布是否均匀

（２）当从外边把另一带电体Ａ移近这一对同心球时，内球Ｃ上的电荷分布是否均

匀为什么

答：（１）具有球对称性，Ｑ在内球的表面上分布是均匀的。

（２）Ａ的移近使外球的外表面上感应出等量异号的感应电荷，但内部的电场不受Ａ的

影响，仍具有球对称性，内球上的电荷分布仍是均匀的。

１５、两个同心球状导体，内球带电Ｑ，外球不带电，试问：（１）外球内表面电量Ｑ１＝外球外表面电量Ｑ２＝

（２）球外Ｐ点总场强是多少

（３）Ｑ２在Ｐ点产生的场强是多少Ｑ是否在Ｐ点产生场强Ｑ１是否在Ｐ

点产生场如果外面球壳接地，情况有何变化

答：（１）外球内表面电量Ｑ１＝－Ｑ；外球外表面电量Ｑ２＝Ｑ。

? （２）设球外Ｐ点到球心的距离为r,则Ｐ点的总场强为E?? （３）Ｑ２在Ｐ点产生的场强是E?1Q?r。

4??0r31Q?r。Ｑ和Ｑ１都要在Ｐ点激发电

4??0r3场，不过，其场强的矢量和为零。如果外面球壳接地，则Ｑ２＝０，仍有Ｑ１＝－Ｑ，Ｐ点的场强为零。

１６、在上题中当外球接地时，从远处移来一个带负电的物体，内、外两球的电位增高还

是降低两球间的电场分布有无变化

答：这时，内外两球的电位即不增高也不降低，外球仍与大地等电位。由于静电屏蔽效

应，两球间的电场分布没有变化。

１７、在上题中若外球不接地，从远处移来一个带负电的物体，内、外两球的电位增高还

是降低两球间的电场分布有无变化两球间的电位差有无变化

答：这时，内外两球的电位要降低。由于静电屏蔽效应，两球间的电场无变化，两球间各

点相对于地的电位要变化。因为每点的电位与外壳的电位有关。但是，任意两点之间的电位差没有变化，因为两点之间的电位差只由场强分布决定，场强分布不变时，电位差不变。

１８、如图所示，在金属球Ａ内有两个球形空腔。此金属球整体上不带电。在两空腔中心

各放置一点电荷q1和q2。此外在金属球Ａ之外远处放置一点电荷q(q 至Ａ的中心距离r>>球Ａ的半径Ｒ)。作用在Ａ、q1、q2和q四物体上的静电力各多大

答：电荷q1在其所在空腔内壁上感应出－q1的电荷，在Ａ的外表面上感应出＋q1的电荷；A q1 q2 ·q q２的电荷；因此· · Qq2在其所在空腔内壁上感应出－q２的电荷，在Ａ的外表面上感应出＋r Ａ的外表面上感应电荷的总电量为q1＋q２。(r>>R，q在球面上的感应电荷不计) q1和－q1在空腔外产生的场强的矢量和为零，因此，它们对Ａ球面上的电荷q1＋q

２

以及电荷q、q２没有作用力。同样，q２和－q２也是如此。电荷q和Ａ球面上的电荷

q1＋q２由于静电屏蔽效应，对q1和q２也没有作用力。由于q至Ａ球中心的距离r>>R, 电荷q和Ａ球面上的电荷q1＋q２的相互作用，可看作两个点电荷之间的相互作用，相互作用力满足库仑定律。力的大小为E?1?q1?q2?q，方向在沿着q和Ａ球心的连

4??0r2线上。

q1和q２之间没有相互作用力，因为它们各自发出的电力线全部终止在自己所在的

空腔内表面上。q1只受其所在腔壁上－q1作用，由于对称性，作用力相互抵消为零。同样q２所受到的作用力也为零。

１９、在上题中取消r>>R的条件，并设两空腔中心的间距为a ,试写出：

（１）q 给q1的力；（２）q２给q的力；（３）q1给Ａ的力；（４）q1受到的合力。

答：（１）电荷之间的相互作用力与其他物质或电荷是否存在无关，所以点电荷q 给点电

荷q1的作用力为 F?1qq124??0?r?a/2?1

（２）同理q２给q的力 F?qq14??0?r?a/2?2

（３）q1给Ａ的力Ｆ＝０（Ａ所带总电量为零，等量异号电荷分布具有轴对称

性）（４）

q1受到的合力为零。因为所受力包括四部分——

一是空腔内表面上与其等量异号的感应电荷对其的作用力，由于感应电荷均匀分布于内球面上，由对称性可知Ｆ１＝０；

二是q2及其空腔内表面上的感应电荷－q2对其的作用力，－q2在内表面上的分布也是均匀的，q2及－q2对q1的作用力Ｆ２＝０；

三是Ａ球外表面感应电荷q1＋q２对其作用，q1＋q２均匀分布于Ａ球面上，在导体内部产生的场强为零，所以作用力F3?0

四是q及Ａ上感应电荷对其作用。导体外表面上感应电荷在导体内产生的场正好与引起它的电荷在导体内产生的电场互相抵消，使得导体内场强处处为零，所以合力Ｆ４＝０。

２０、（１）若将一个带正电的金属小球移近一个绝缘的不带电导体时，小球受到吸引力

还是排斥力

（２）若小球带负电，情况将如何

（３）若当小球在导体近旁（但未接触）时，将导体远端接地，情况如何（４）若将导体近端接地，情况如何

（５）若导体在未接地前与小球接触一下，将发生什么变化（６）若将导体接地，小球与导体接触一下后，将发生什么变化

答：（１）导体在靠近小球一端感应电荷为负电荷，小球受吸引力；

＋

（２）若小球带负电，导体在靠近小球一端感应电荷为正电荷，

小球仍受吸引力；

（３）导体远端接地时，导体整体带负电，小球所受力为吸引

＋

力；

（４）导体近端接地时，导体仍带负电，小球所受力为吸引力；（５）导体在未接地前与小球接触一下，导体也带正电，小球受到排斥力；

（６）导体接地，小球与导体接触后，所有电荷将通过导体流入大地，小球与导体均不带

电，因此小球与导体之间没有相互作用力。

２１、（１）将一个带正电的金属小球Ｂ放在一个开有小孔的绝缘金属壳内，但不与接

触。将另一带正电的试探电荷Ａ移近时，Ａ将受到吸引力还是排斥力若将小球Ｂ从壳内移去后，Ａ将受到什么力

（２）若使小球Ｂ与金属壳内部接触，Ａ受什么力这时再将小球Ｂ从壳内移去，情

况如何

（３）使小球不与壳接触，但金属壳接地，Ａ将受什么力将接地线拆掉后，又将小

球Ｂ从壳内移去，情况如何

（４）如情形（３），但先将小球从壳内移去后再拆除接地线，情况与（３）相比

有何不同

答：（１）在此情形下，带正电的Ｂ球将在金属壳内表面感应出负电荷，在金属壳外表面

感应出正电荷，Ｂ球和金属壳组成的体系在金属壳外部的场，只由金属壳外表面的电荷分布决定，由于金属壳外表面带正电，所以处在这个电荷的场中的带正电的试探电荷Ａ将受到排斥力（这里忽略不计Ａ的场对金属壳外表面电荷分布的影响，否则，在一定条件下，它们之间可能出现相互吸引的情况）。

若将Ｂ从壳内移去，带正电的试探电荷Ａ将使金属壳外表面上

产生感应电荷，靠近Ａ的一边出现负电荷，远离Ａ的一边出现正电荷。距离不同，吸引力大于排斥力，结果Ａ将受到吸引力作用。（２）小球Ｂ与金属壳内部接触，Ｂ的正电荷将分布在金属壳的外表

面，处于此电场中的Ａ将受到排斥力的作用。这时再将Ｂ从金属壳内移去，情况不变。

（３）Ｂ不与金属壳接触，但金属壳接地时，金属壳外表面由于Ａ的

＋Ａ

＋

Ｂ

＋Ａ

Ｂ＋

＋Ａ

＋

Ｂ

存在而出现的感应电荷消失。但由于带正电的Ａ的存在，将在离Ａ最近的一边出现负的感应电荷，它将使Ａ球受到吸引力作用。

将接地线拆掉后，又将Ｂ从壳内移去，内表面上的负电荷将分布在外表面上，最后结果是Ａ球所受的吸引力增大。

（４）先将Ｂ移去再拆去地线，与（３）的最后结果相同，但引力大小不同。

在（３）中，由于静电平衡状态下先拆掉地线，各部分电荷分布不变，再将Ｂ从壳内移去，内壁的负电荷转移到外表面后不能入地，Ａ球受到的吸引力增大。

在（４）中，先将Ｂ从壳内移去，内壁的负电荷转移到外表面后，全部从接地线入地，静电平衡后再拆去地线，Ａ球受到的吸引力将不增加。

２２、在一个孤立导体球壳的中心放一个点电荷，球壳内、外表面上的电荷分布是否均匀

如果点电荷偏离球心，情况如何

答：电荷放在球心，由于球对称性，球壳内、外表面上的电荷分布是均匀的。如果点电荷

偏离球心，力线不是从球心出发，但在内表面附近，又必须垂直于球壳的内表面，所以球壳内的场强分布不再具有球对称性，球壳内表面上的电荷分布不再均匀。但是，点电荷发出的电力线终止在内表面上，不影响球壳外部，因此，球壳外表面的电荷仍然按外表面的形状均匀分布。

２３、如图所示，金属球置于两金属板间，板间加以高压，则可看到球与板间放电的火

花。若再在下面板上金属球旁放一等高度的尖端金属，问放电火花将如何变化想一想这现象可有何应用

答：若在下面板上金属球旁放一等高的尖端金属，则球和上板之间不再出现放

电火花，火花只出现在尖端金属与上板之间。这是由于导体尖端处面电荷密度大，附近的场强特别强，使得空气易于在金属尖端和上板之间被击穿而发生火花放电。

上述现象说明，曲率半径小的尖端比曲率半径大的表面易于放电。利用这种现象可以做成避雷针，避免建筑物遭受雷击；让高压输电线表面作得很光滑，其半径不要过小，避免尖端放电而损失能量；高压设备的电极作成光滑球面，避免尖端放电而漏电，以维持高电压等。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 习题：

１、如图所示，一平行板电容器充电后，Ａ、Ｂ两极板上电荷的面密度分别

－σ为σ和－σ。设Ｐ为两板间任一点，略去边缘效应，求： σ －＋（１）Ａ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度ＥＡ；（２）Ｂ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度ＥＢ；（３）Ａ、Ｂ两板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度Ｅ；

（４）若把Ｂ板拿走，Ａ板上电荷分布如何Ａ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度为多少

解：略去边缘效应，两极板上的电荷是均匀分布的电荷，两极板间的电场是均

匀电场。由对称性和高斯定理可得

??? （1）Ａ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度 EA?e（A板法线方向上的

2?0－＋－＋A P B－＋－＋－＋－＋－＋－单位矢量，指向B板）；

???（2） B板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度 EB?e

2?0?????（3）Ａ、B两板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度E?EA?EB?e

?0（4）Ｂ板拿走后，Ａ板上电荷将均匀分布在两个表面上，面电荷密度减

小为一半。在P点产生的场强为两个表面上电荷产生场强的叠加，

???EA?e

2?0

2、证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，

（１）相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反； 1 2 3 4 （２）相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。（３）若左导体板带电+3微库/米2，右导体板带电+7微库/米2，求四

个表面上的电荷。

解：由对称性可知，在每个面上，电荷必定都是均匀分布的，在两板间和两板

外的电场必定都是均匀电场，电场强度的方向都与板面垂直。 σ1 σ2σ3 σ4 （１）作柱形高斯面如图所示，由高斯定理得

1 2 3 4 （２）根据无限大带电平面均匀电荷产生电场强度的公式和电场强度的叠加

原理，导体内任一点P的电场强度为（３）应用前述结果及电荷守恒定律

?2???31?Q1?Q2??2???3???2?C/m2???42S 1 解得： Q1?(?1??2)S1?Q1?Q2??1??4??5?C/m22SQ2?(?3??4)S由此可知，当Q1=Q2时，相向的两面上无电荷分布，相背的两面上电荷等量同号；

当Q1=-Q2时，相背的两面上无电荷分布，相向的两面上电荷等量异号。

3、两平行金属板分别带有等量的正负电荷。两板的电位差为120V，两板的面积都是3.6cm2,两板相距1.6mm。略去边缘效应，求两板间的电场强度和各板上所带的电量。

解：（1）两板间电场看作均匀电场，两板的电势差为电场强度的方向由电势高的板指向电势低的板。

（2）利用上题结果，相背的两面上没有电荷，相向的两面上电荷面密度大小相等而符号相反。板上的电量为Q??S???0ES??2.4?10?10C

4、两块带有等量异号电荷的金属板a和b，相距5.0mm，两板的面积均为150 cm2,电量的大小都是×10-8C,a板带正电并接地。以地的电位为零，并略去边缘效应，问：（１）b板的电位是多少

（２）a、b间离a板1.0mm处的电位是多少解：a、b两板上的电荷都均匀分布在相向的两面上，

(1)两板间的电场强度为

?b?b b板的电位为 Ub?Ua??E?dl?0??Edl??Ql??1.0?103V

aaa b σ1 σ2σ3 σ4 1 2 3 4 ?0S（２）两板之间离a板处的电位是

5、三平行金属板A、B和C，面积都是200 cm2,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，BC两板都接地。如果使A板带正电×10-7C，在略去边缘效应时，问B板和C板上感应电荷各是多少以地的电位为零，问A板的电位是多少解：（1）BC两板都接地，故两板上只有向着A的一面有感应电荷。

由对称性和高斯定理得

?C??AC?0?B??AB?0??B??C???AB??AC三块板上电荷量的关系为QB?QC??QA? ?AB?

由高斯定理得AB间的电场强度为EAB?eC A B 2mm 4mm ?0???AC间的电场强度为EAC?AC(?e)?0UB?UC??C?ddAC?BdAB?QC?ABQB?0?0dAC联立解得QB??1.0?10?7C,QC??2.0?10?7C （2）A板的电位为 UA?EABdAB???BQdAB??BdAB?2.3?103V ?0?0S6、点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2，求场强和电位的分布，并画出E—r和U—r曲线。解：（1）由高斯定理得场强的分布为

E?q4??0rq4??0r22?r?R1? ?R?r?R? 12R2 R1 q E?0E??r?R2? （2）电位分布为

（3）E—r和U—r曲线如图所示

U E 球壳内外面上电场强度的值，等于该面两边趋于该面时电场强度极限值的平均值。

R1 R2 7、在上题中，若q=×10-10C,R1=2cm，R2=3cm，求：

r R1 R2 r

（１）导体球壳的电位；（２）离球心r=1cm处的电位；

（３）把点电荷移开球心1cm，求导体球壳的电位。解：（1）导体球壳的电位为 U??E?dl?R2???q4??0R2?120V

（2）离球心为r处的电位为

（3）导体球壳的电位取决于球壳外表面电荷分布所激发的电场，与点电荷在

球壳内的位置无关。因此导体球壳电位仍为300V。

8、半径为R1的导体球带有电量q,球外有一个内、外半径分别R2、R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。

q （１）求两球的电位U1和U2；（２）两球的电位差△U；

（３）以导线把球和壳连在一起后，U1、U2和△U分别是多少

（４）在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和△U分别是多少（５）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何

解：（1）由对称性和高斯定理求得，各区域的电场强度和电位分别为

??q?11? （2）两球的电位差为 ?U?RE???dl???R??21Q R3 R1 R2 4??0?R1R2?（3）以导线连接内外球，所有电荷将分布于球壳的外表面上，

U内?U外??U?0q?Q4??0R3

（4）若外球接地，则情形（1）（2）中球壳内表面带电-q,外表面不带电（5）内球电位为零。设其上所带电量为q′,

９、上题中，设q=10-10C,Q=11×10-10C,R1=1cm，R2=3cm，R3=4cm，试计算

各种情形中的U1、U2和△U，并画出U—r曲线。解：利用上题结果代入数据得

函数曲线如图所示。 E １０、 U 设范德格喇夫起电机的球壳与传送带上喷射电荷的尖针之间的电r r 位差为×106V,如果传送带迁移电荷到球壳上的速率为×10-3C/s，则在仅考虑R1 R2 R3 R1 R2 R3 电力的情况下，必须用多大的功率来开动传送带解：开动传送带的功率至少应等于迁移电荷作功的功率１１、

德格喇夫起电机的球壳直径为1m。空气的击穿场强为30KV/cm。

这起电机最多能达到多高的电位

解：对空间任一点P，球壳所带电荷产生的电场的场强和电位分别为１２、

同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。

设内圆柱体的电位为U1，半径为R1，外圆柱体的电位为U2，内半径为R2，求其间离轴为r处（R1

解：由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为

?r? 设r处的电位为U，则U1?U??E?dl??lnr

R2??0R11

１３、同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。

设内圆柱体的半径为R1，外圆柱体的内半径为R2，两圆柱体的电位差为U。求其间离轴为r1和r2处（R1

解：利用上题结果，离轴为r1和r2处（R1

一很长直导线横截面的半径为a，这线外套有内半径为b的同轴

导体圆筒，两者互相绝缘，外筒接地，它的电位为零。导线电位为U，求导线和筒间的电场强度分布。

解：由高斯定理可求得a

------------------------------------------------------------------------------ § 电容和电容器思考题：

１、两导体A、B相距很远（因此它们都可以看成是孤立的），其中A原来

带电，B不带电。现用一根细长导线将两球联接。电荷将按怎样的比例在两球上分配

答：当用导线联接A、B时，UA=UB，两导体所带电量与电容成正比。如果两

导体为球形，则比。

qACA4??0RARA???，即电量与导体球的半径成正qBCB4??0RBRB???

er2??0r

２、用一个带电的小球与一个不带电的绝缘大金属球接触，小球上的电荷会

全部传到大球上去吗为什么

答：只要大球的半径是有限的，小球的电荷就不会全部传到大球上去。因为两球接触后，

可看作一个孤立导体，表面的电荷分布与导体表面曲率有关。两球曲率不同，电荷的面密度不同。只要大球的半径与小球半径之比不是充分大，小球上保留的电荷与大球上的电荷相比就不能忽略。

３、将一个带电导体接地后，其上是否还会有电荷为什么分别就此导体附近

有无其他带电体的不同情况加以讨论。

答：当带电体附近无其他带电体时，将带电体接地后，实验表明带电体上的电

荷就会消失，这可以由静电平衡时，导体表面的电荷分布与曲率有关解释。

qQ?r，由于实际问题中，带电体的线度与地球半径比较可以忽略，R即r/R→0，所以q/Q→0.可见，不论带电体和地球联接前如何带电，它们连接后，带电体上保留的电荷可以视为零。

当接地带电体附近有其他带电体时，由于其他带电体在此接地带电体上产生异号感应电荷，接地导体上仍然还会有电荷。不过，这些电荷的符号和大小与原来的带电体情况无关，只取决于附近其他带电体所带的电荷的符号、大小和位置。

４、附图中所示是用静电计测量电容器两极板间电压

的装置。试说明，为什么电容器上电压大时，静电计的指针偏转也大

答：静电计可看作一个电容器，外壳为一极板，指针和支撑刻度盘的杆子为另

一极板。平行板电容器与静电计构成的电容器并联。电压相等。电容一定

+ + + + + + + + + - - - - - - -

时，电量与电压成正比。当平行板电容器的电压高时，静电计电容器上的电压也高。因而静电计指针和支撑刻度盘的金属杆上的电量也大，从而指针和杆子的排斥作用也大，静电计的指针偏转也就大。

５、附图中三块平行金属板构成两个电容器。试判断图a、b中哪种接法是串

联，哪种接法是并联。

答：a是并

a b 联。b是串联。６、判断图a、b中两个同心球电容器是串联还是并联。

答：a是并联。b是串联。

７、附图中四个电容器大小相同（C1=C2=C3=C4），电源电压为U，下列情

况下每个电容器上的电压是多少

（１）起先电键K2断开，接通K1再接通K2，然后断开K1；（２）起先电键K2断开，接通K1，断开K1，然后接通K2。答：（1）K2断开，接通K1，U1=U2=U3=U/3，U4=0；

C1 再接通K2，C2与C4并联，C24=2C

U1 =U3=2U24，U1 +U3+U24=U；

U1 =U3=2U/5 U24=U/5

C2 C3 K2 C4 K1 U

断开K1，情况不变。

（总电压为U保持不变）

（2电键K2断开，接通K1，U1=U2=U3=U/3，U4=0；

断开K1，电量保持一定；

接通K2，U1= U3=U/3，U24=U/6，U2=U4=U/6

（电量不变，总电容增大，总电压减小）

８、附图中三平行金属板面积相等，且等距。下列情形下各板的电位是多少设

原来电键K和K1已接通，K2和K3是断开的。（１）断开K，断开K1，接通K2；（２）断开K，接通K2，断开K1；

（３）断开K，接通K2，断开K2，接通K3。

3 2 K3

U 解：三平行金属板面积相等，且等距，两相邻板之间构成的电容器电容相等。K 1 K2 当最初电键K和K1已接通，K2和K3断开时，U1=0，U2=U/2，U3=U。 K1 （１）断开K，断开K1，q1和q3不变；接通K2，U2=0。各板上电荷分布不

变，只是零电位点变动，U1=-U/2，U3=U/2。

（２）断开K，q3不变；接通K2，U1= U2，其间E=0，即2板下面正感应电荷

与1板上负感应电荷中和。2板和3板之间E不变；再断开K1，情况不变。

U1= U2=0，U3=U/2。

（３）断开K，q3不变；接通K2，q1与q2中和；断开K2，2板上剩下的负电荷

不变。接通K3，U3=U1；但由于2板上负电荷的作用，为保持导体内E=0，U3=U1，3板和1板必须有原来一半的电荷，各板间电场为原来一半，而且方向指向2板。所以U2=-U/4。

９、如附图所示，用电源将平行板电容器充电后即将电键K断开。然后移近两

极板。在此过程中外力作正功还是作负功电容器储能增加还是减少

答：两极板带等量异号电荷，相互吸引。在移近两

板的过程中，电场力做正功，外力做负功，能量减少。

电容器充电后K断开，两极板上的电荷保持不变。

在移近两极板的过程中，电容器的电容增大，因而电压减小。由电容器储能

公式W?1QU?1CU2?1Q可知，电容器的储能减少。

222C2d K １０、在上题中，如果充电后不断开K，情况怎样能量是否守恒

答：充电后不断开K时，在移近两板的过程中，外力仍做负功，但电压保持不

变而电容增大，电容器储能增加。增加的能量来自于电源所做的功。

在恒压下增大电容，电源一方面为电容器增加电量，另一方面提供一部分能量对外作功。能量守恒。１１、

将一个接地的导体B移近一个带正电的孤立导体A时，A的电位是升高还是降低

答：A的电位将降低。

如果B不接地，A带正电，在其电场作用下，附近的导体B上出现等量异号的感应电荷。近A端为负电荷，远A端为正电荷。若取无限远处为电位的零点，则正电荷激发的场中各点电位为正，负电荷激发的电场中各点电位为负。导体A上的电位等于本身电荷分布激发的场和B上感应电荷激发的场的叠加。B上感应电荷对A的电位的贡献是负值，因而B离A越近，A的电位越低。

B是接地导体时，其上只有负的感应电荷，因此A的电位降低。从能量角度分析，当B移近A时，受A的电场作用，将有负电荷从大地流入导体B，在此过程中，电场力做正功，A的电势能减少——电量不变，电位降低。

B移近A的过程中，A的电容增大，电量不变，电位降低。

１２、

两绝缘导体A、B分别带等量异号

C 电荷。现将第三个不带电的导体C插入A、B之间（不与它们接触），UAB增大还是减少答：UAB将减少。

A、 B带等量异号电荷，且保持电量不变。在导体C进入AB之间的过程中，C上出现等量异号的感应电荷，C所受A、B的合力方向指向C的

A B

插入方向，电场力做正功，能量减少。由W?1QU?1CU2?1Q可知，UAB

222C2减小。

如果导体C有一定厚度t，插入A、B之间时，相当于减小了两极板之间的距离，因A、B所带电量不变，两板之间的场强不变，UAB=E（d-t）

１、地球的半径为6370km，把地球当作真空中的导体球，求它的电容。解：C?4??0R?7.08?10?4F

２、空气电容器的两平行板相距为，两极板都是正方形，面积相等。要想它的

电容分别是（1）100PF；（2）μF;（3），正方形的边长需多大解：C??0Sd?S?dC?0?a2?a?dC?0

（1）a=10.6cm (2) a=10.6m (3) a=10.6km

３、面积都是的两平行导体板放在空气中相距，两板电位差为1000V，略去边

缘效应，求：（１）电容C；

（２）各板上的电量Q和电荷的面密度σ；（３）板间的电场强度E。

C??0Sd解： Q?CU?3.6?10?6C???Q/S?1.8?10?6C/m2

E?U/d?2.0?105V/m?3.6?10?9F

４、如附图所示，三块平面金属板A、B、C彼此平行放置，AB之间的距离是

BC之间距离的一半。用导线将外侧的两板A、C相联并接地，使中间导体板B带电3μC，三个导体板的六个面上的电荷各为多少解：相当于两个电容器并联

５、如附图所示，一电容器由三片面积都是的锡箔构成，相邻两箔间的距离都B

是，外边两箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极。（１）求电容C；

（２）若在这电容器上加220V的电压，问各箔上电荷的面密度分别是多少

C?C1?C2?2?0S/d?1.07?10?10FU1?U2?Q1?Q2?C1U??0SU/d??S???Q/S?1.96?10C/m?52解：

６、如附图所示，面积为的金属箔11张平行排列，相邻两箔间的距离都是，

奇数箔联在一起作为电容器的一极，偶数箔联在一起作为另一极。求电容C。

解：相当于十个相同的电容器并联。

７、如附图所示，平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚为t 的金属片。略去边缘效应，（１）求电容C；

（２）金属片离极板的远近有无影响

解：相当于两个电容器串联。设金属板距上板距离为x

t S d

当t →0时， C??0Sd

当t →d时, C→∞

或者：U??d?t0Edl?E(d?t)??S?QQ(d?t)?(d?t)?C??0 ?0?0SU(d?t)８、如附图所示，一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，两板不是

严格平行，而是有一夹角θ。证明：当θ<

C?d a θ ?0ad2(1?a?) 2d解：将两板同时分割为狭长的细窄条，长为a，宽为dx

在dx 宽度内，上下两平面仍近似平行,

９、半径都是a 的两根平行长直导线相距为d(d>>a),求单位长度的电容。解：由高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强为

单位长度的电容为１０、

证明：同轴柱形电容器两极的半径相差很小（即RB-RA<

RlnBRA令RB-RA=d ,且d<< RA

——相当于平行板电容器的电容公式

１１、证明：同心球形电容器两极的半径相差很小（即RB-RA<

时，它的电容公式趋于平行板电容公式。

4??0RARB

RB?RA证明：同心球形电容器的电容公式为 C?RB 当RB-RA<

RA ——相当于平行板电容器的电容公式１２、

一球形电容器内外两壳的半径分别为R1和R4，今在两壳之间放

一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。（１）给内壳以电量Q，求R1和R4两壳的电位差；（２）求电容。

解：（1）由对称性及高斯定理可得各区域场强分布为（2）电容为 C?Q??U4??0?1111???????RR?RR234??1

１３、收音机里用的可变电容如附图所示，其中共有n个面积为S的金属片，

相邻两片的距离都是d,奇数片联在一起作为一极，它固定不动（叫做定片），偶数片联在一起作为另一极，它可以绕轴转动（叫做动片）。

（１）什么动片转动时电容C会改变转到什么位置时C最大转到什么位置时C

最小

（２）证明：略去边缘效应时，C的最大值为

解：（１）电容大小由定片和动片间正对着的那部分面积决

定。当动片转动时，正对面积变化，电容随之变化。

当动片完全转到定片间时，Ｓ达到最大，Ｃ就达到最大；当动片完全转出定片时，Ｓ＝０，Ｃ达到最小。

（２）当动片完全转入时，相当于n-1 个电容器并联，

总电容为 CM??n?1??0S

d1４、收音机里用的可变电容如上题所示，其中共有n个金属片。每片形状如

下图所示；相邻两片间的距离都是d，当动片转到两组片之间夹角为θ时，证明：当θ较大时，略去边缘效应，它的电容为

C??n?1???0?r22?r12??360d(?以度为单位)

解：由扇形面积公式 A?12r?，得两组片对着的面积为 2r2 r１ θ 式中θ是以弧度为单位，若以度为单位，整个电容器可视为n-1个电容器并联而成 C??0Sd??n?1???0?r22?r12??

360d１５、四个电容器的电容分别为Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ

４

Ｃ１ＣＡＢＣ４ＣＥ

，联接如图所示，分别求：

（１）ＡＢ间；（２）ＤＥ间；（３）ＡＥ间

的电容。

C2C3CC?C2C3?C1C3 ?12C2?C3C2?C3解：（１）ＡＢ间的电容为 CAB?CEB?C1? （２）ＤＥ间的电容为 CDE?C3?CC?C2C3?C1C3C1C2 ?12C1?C2C1?C2

（３）ＡＥ间有导线接通，相当于无穷大的电容。 CAE?? １６、四个电容器的电容都是Ｃ，分别按图a和图b联接，求Ａ、Ｂ间的电

容。哪种接法总电容较大

ＣＣＣＣ A 14B CAB?C?C?C 解： (1)3a 3 (2) CAB?A B ＣＣＣＣ b CC??C b接法总电容较大。 22１７、四个电容Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４都已知，

求图a、b两种联法时，ＡＢ间的电容。解：两种联法Ａ、Ｂ间的电容分别为

CAB?C1C3CC?C?C4??C2C4?C1?C3?CC?214?132?C1?C3??C2?C4?C1?C3C2?C4C1?C2?C3?C4A C1 C2 C3 C4 B a

A C1 C2 C3 C4 B b

CAB??C1?C2??C3?C4?

１８、（１）求附图中Ａ、Ｂ间的电容；

（２）在Ａ、Ｂ间加上１００Ｖ的电压，求Ｃ２上的电荷和电压；（３）如果这时Ｃ１被击穿，问Ｃ３上的电荷和电压各是多少

解：（１）CAB??C1?C2?C3C1?C2?C3?3.75?F

C1 C2 10 CμF 5μ F （２）Ｃ２上的电荷和电压

5μF ３B

（３）Ｃ１被击穿时，Ｃ２短路，全部电压将加在Ｃ３上，

Ｕ３＝Ｕ＝１００Ｖ

Ｑ３＝Ｃ３Ｕ＝５×１０

－４

Ｃ

１９、如附图，已知Ｃ１＝μF, Ｃ2＝μF, Ｃ3＝μF, Ｃ１上的电压为５０Ｖ。求

ＵＡＢ。

Ｃ２解：Ｃ２与Ｃ３并联后与Ｃ！串联。２０、标准电容的线路如图所示，

ＡＣ１Ｂ

Ｃ３

（１）当Ｋ４和Ｋ６接上边，Ｋ５和Ｋ７接到下边，而其他Ｋ上下都不接

时，ＡＢ之间的电容是多少

（２）当Ｋ１向上，Ｋ３向下接通，而其他Ｋ上下都不接时，ＡＢ之间的

电容是多少

（３）要得到μF的电容，各Ｋ如何接

Ｂ（４）能得到最大的电容是多少怎样接法（５）能得到最小的电容是多少怎样接法解：（１）CAB?(0.1?0.2?0.5)?0.8?F （２）CAB?0.05/2?0.025?F

（３）应将、、三个电容器并联，Ｋ３、Ｋ５向上，Ｋ４、Ｋ６向下。

（４）应为各电容器并联的总电容。Ｃ＝１.０μＦ

Ｋ１Ｋ３Ｋ５Ｋ７向下，Ｋ２Ｋ４Ｋ６向上。

（５）应为各电容器串联的总电容Ｃ＝０.０１４９μＦＫ１向上，

Ｋ７向下

Ａ d

Ｋ１Ｋ２Ｋ３Ｋ４Ｋ５Ｋ６

２１、有一些相同的电容器，每个电容都是２.０μF，耐压都是２００Ｖ。现在

要用它们联接成耐压１０００Ｖ，（１）电容Ｃ＝０.４０μF和（２）Ｃ＝１.２μF的电容器，问各需要这种电容器多少个怎样联法解：（１）将５个电容为２.０μF，耐压２００Ｖ的电容器串联Ｃ＝０.４０μF，Ｕ＝５Ｕ０＝１０００Ｖ

（２）将５个电容为２.０μF，耐压２００Ｖ的电容器串联为一组，再并

联三组

Ｃ＝１.２μF，Ｕ＝１０００Ｖ

２２、两个电容器Ｃ１和Ｃ２，分别标明为Ｃ１：２00ＰＦ５00Ｖ，Ｃ２：300ＰＦ

900Ｖ.把它们串联后，加上１０００Ｖ电压，是否会被击穿解：串联后总电容为Ｃ＝１２０ＰＦ，总电量Ｑ＝ＣＵ＝×10C,

加在Ｃ１和Ｃ２上的电压分别为Ｕ１＝６００Ｖ，Ｕ２＝４００ＶＣ１上的电压超过额定电压，首先被击穿。Ｃ１击穿后，１０００Ｖ电压全部加在Ｃ２上，Ｃ２也被击穿。

２３、四个电容器C1=C4= μF，C2=C3=μF，联接如图所示。

（１）分别求K断开和接通时的Cab;

（２）当Uab=100V时，分别求K断开和接通时各电容上的电压。解（１）Ｋ断开时 Cab?2C1C2?0.3?F

C1?C2-7

Ｃ１ C2 a b

Ｃ3 C4

Ｋ接通时 Cab??C1?C2??C3?C4??0.4?F

C1?C2?C3?C4 （２）Ｋ断开时Ｕ＝100Ｖ，Ｑ＝ＣＵ＝30μＣ

每个电容器上15μＣ, U1=U4=Q/C1=75V, U2=U3=Q/C2=25V

Ｋ接通时Ｕ＝100Ｖ，Ｃ＝μF, Ｑ＝ＣＵ＝40μC U1=50V, U2=50V

２４、如图所示，C1=20μF，C2=5μF，先用U=1000V把C1充电，然后把K拨到另

K 一侧使C1与C2联接。求：

U C1 C2 （１） C1和C2所带的电量；（２） C1和C2两端的电压。解：（１）C1和C2所带的电量为（２）C1和C2两端的电压为

Ｕ２＝Ｕ１＝Ｑ１／Ｃ１＝８００Ｖ

２５、附图中的电容C1、C2、C3都是已知的，电容C是可以调节的。问当C调

节到A、B两点的电位相等时，C的值是多少

Ｃ１ CＡ 2 Ｂ解：设串联的电容Ｃ和Ｃ３上的电量为q,Ｃ１和Ｃ２上的电量为qˊ Ａ、Ｂ两点等电位

２６、把C1=μF和C2=μF并联后接到900V的直流电源上，

（１）求每个电容器上的电压和电量；

Ｃ3 C 电源

（２）去掉电源，并把C1和C2彼此断开，然后再把它们带异号电荷

的极板分别接在一起，求每个电容器上的电压和电量。

解：（１）C1 、C2并联后接到900V的直流电源上，

（２）去掉电源后重新联接，两电容器互相充电，电量重新分配２７、把C1=μF和C2=μF串联后，加上300V的直流电压。

（１）求每个电容器上的电量和电压；

（２）去掉电源，并把C1和C2彼此断开，然后再把它们带正电的极板

接在一起，带负电的极板也接在一起，求每个电容器上的电压和电量；

（３）如果去掉电源并彼此断开后，再把它们带异号电荷的极板分别接

在一起，求每个电容器上的电压和电量。

解：串联电容器的总电容及总电量为

（１）每个电容器上的电量和电压为（２）去掉电源后并接（３）去掉电源后串接

２８、C1= 100μF充电到50V后去掉电源，再把C1的两极板分别接到C2的两极

板上（C2原来不带电），测得这时C1上的电位差降低到，求C2。

解：充电后，C1上的电量为 Q= C1U=×10-9C ，与C2联接后，

Q1?Q?Q?5.0?10?9CQ1?C1U1?3.5?10?9CQ1QQQ?Q1?U1?U2?2?C2?2??43?FC1C2U1U1

２９、激光闪光灯的电源线路如图所示，由电容器C储存

的能量，通过闪光灯线路放电，给闪光灯提供能量。电容C=6000μF,火花间隙击穿电压为2000V，问C在一次放电过程中，能放出多少能量解： W?激光闪光灯球形火花间隙

1CU2?1.2?104J 2３０、两电容器的电容之比为C1：C2=1：2，把它们串联后接到电源上充电，

它们的电能之比是多少如果并联充电，电能之比是多少解：（1）串联充电时（2）并联充电时

３１、已知两电容器C1=10PF，C2=20PF，把它们串联后充电到，问它们各蓄了

多少电能

解：充电后所带电量为 Q?CU?C1C2U?Q1?Q2

C1?C2 两电容器各自储存的电能为

３２、（1）一平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d,电容便为

C??0Sd。当在两板上加上电压U时，略去边缘效应，两板间电场强度为

E=U/d。其中一板所带电量为Q=CU，故它所受的力为

2?U?CU，这个结果对吗为什么 F?QE?CU???d?d?1Q21CU2（2）用虚功原理证明：正确的公式应为 F? ?2Cd2d

解：（１）这个结果不对。因为Ｅ＝Ｕ／d是两极板之间的电场强度，而不是

面电荷Ｑ所在处的电场强度。Ｑ所在处的场强大小为 EQ?1U E?22dQU1CU2 正确的结果应为 F?QEQ? ?2d2d11?0s?E?12 （２）电容器储存能量为 W?CU2?????0ESd

22d?d?22 当电荷在电场中位移dr时，电场作用在它上面的力Ｆ所作的功dA

????等于电势能减少的值。即 dA?F?dr??dW?F???W

式中edo 极板表面法线方向的单位矢量，指向d增大的方

向，负号表明Ｆ的方向是指向d减小的方向。Ｆ的大小为

３３、一平行板电容器极板面积为Ｓ，间距为d，带电±Ｑ，将极板的距离拉开一倍。计算

（１）静电能改变多少（２）抵抗电场力作了多少功

Q2Q2Q2解：（１）电量Ｑ保持不变，静电能的改变为 ?W?，增加??2C?2C2C了一倍。

Q2 （２）抵抗电场力所作的功等于静电能的增加。A??W?

2C３４、一平行板电容器极板面积为Ｓ，间距为d，接在电源上以保持电压为

Ｕ，将极板的距离拉开一倍。计算：（１）静电能的改变；

（２）电场对电源作的功；（３）外力对极板作的功；

解：（１）电压保持不变，静电能的改变为

1111?W?C?U2?CU2?CU2?W0 静电能减小一倍

2222 （２）电场对电源作功是变力作功

（３）外力对极板（电场）作功＋电源对电场作功＝静电能的增量３５、静电天平的装置如图所示，一空气平行板电容器两极板的面积都是Ｓ，

间距为x，下板固定，上板接到天平的一头。当电容器不带电时，天平正好平衡。然后把电压Ｕ加到电容器的两极上，则天平的另一头须加上质量为m的砝码，才能达到平衡。求所加的电压。解：加上电压Ｕ后，极板所受的静电力为当天平平衡时，Ｆ＝mg

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

m Ｓ x 固定极板 § 电介质

思考题：

１、（１）将平行板电容器两极板接在电源上以维持其间电压不变，用介电常

数为ε的均匀电介质把它充满，极板上的电荷量为原来的几倍电场为原来的几倍

（２）若充电后拆掉电源，然后再加入电介质，情况如何

答：（1）极板间电压U0保持不变，加入电介质时，电容器的电容C=εC0，极

板上电荷Q=C U0=εC0 U0=εQ0，可见电量增加为原来的ε倍。E=U/d，极板间的场强保持不变，

（2）极板上电荷量Q0保持不变，加入介质后，电容增加为C=εC0。极板间

的电压U=Q0/C= U0/ε，极板间的电压降低。介质中的总场强小于原来的场强，E=U/d=E0/ε，

２、如图所示，平行板电容器的极板面积为Ｓ，间距为d，试问：

（１）将电容器接在电源上，插入厚度为d/2的均匀电介质板，介质内、

外电场之比是多少它们和未插入电介质之前电场之比为多少(图a)

（２）在问题（１）中，若充电后拆去电源，插入电介质板，情况如何（３）将电容器接在电源上，插入面积为Ｓ／２的均匀电介质板，介质

内、外电场之比是多少它们和未插入电介质之前电场之比为多少（图b）

（４）在问题（３）中，若充电后拆去电源，插入电介质板，情况如何（５）图a、b中电容器的电容各为真空时的几倍以上各问题中都设电介质的介电常数为ε。

d 图a S d/2 答：（1）插入厚度为d/2的介质板，电压U0保持不变，

（2）电量Q0保持不变，则D保持不变。

（3）插入面积为S/2的介质板，电压U0保持不变。虽然有介质部分有退极化场存在，但与电介质相对应的那一部分极板的自由电荷增加，刚好抵消。

U0?E内d?E外d?E0d?E内?1? E内?E0E内?E外?E0???1E外E外??1??E0S d S/2 图b

（4）电容器上总电量Q0保持不变。加入介质后，极板上的电荷分布发生变化，有介质的部分极板上电荷密度增大，无介质部分电荷密度减小，结果电容器极板间的电压降低。设右、左部分电荷密度分别为σ1、σ2。（5）由（1）（2）的结果可算出总电容等于两个电容的串联。由（3）（4）的结果可算出总电容等于两个电容的并联

３、平行板电容器两板上自由电荷密度分别为＋σ、－σ。今在其中放一半径为

r、高度为h的圆柱形介质（介电常数为ε），其轴线与板面垂直。求在下列两种情况下圆柱介质中点的场强Ｅ和电位移矢量Ｄ。（１）细长圆柱，h>>r；（２）扁平圆柱，h<

轴线方向平行，只有介质柱的上下两底面出现束缚电荷，因h>>r，介质柱上下底面很小，束缚电荷Ｑ

P=σPS

＋＋＋＋＋＋ h

－－－－－－很小，而且离介质柱的中点较远，所以ＱＰ产生的电场与Ｅ０相比很

小，可以忽略，因此介质柱中点的场强

＋＋＋＋＋＋（２）介质柱上下两底面的束缚电荷不能忽略，可

以将其看成无限大平面，束缚电荷在这两个面之间

－－－－－－产生的电场为

介质中的场强为 E?E0?E??E0???r?1?E?E?E0??0。介质中的电

?r?位移 D??0?rE??0

４、在均匀极化的电介质中挖去一个半径为r、高度为h的圆柱形空穴，其轴

线平行于极化强度矢量Ｐ。求在下列两种情况下空穴中点Ａ处的场强Ｅ和电位移矢量Ｄ与介质中Ｅ、Ｄ的关系。 A （１）细长圆柱，h>>r；（图a）（图

（２）扁平圆柱，h<

（2）中束缚电荷在A点的场，可视为无限大均匀带电平面的场５、用电源将平行板电容器充电后即将电源断开，然后插入一块电介质板。在

此过程中电容器储能增加还是减少介质板受什么方向的力外力作正功还是作负功

解：电容器极板电荷保持不变，电介质板在进入带电

的平行板电容器的过程中，相当于两个电容器并联，

电容器储能减少 W?Q?W0

2C2A （图

＋＋＋＋＋＋ - - - - -- - - - - -+ + + + + + －－－－－－ F

介质由于极化作用产生束缚电荷，电荷受电场力作用，方向指向电容器内部。释放后，介质在电场力作用下加速移进电容器内，电场力作正功，外力作负功，电场能量减少。

６、在上题中，如果充电后不断开电源，情况怎样能量是否守恒

答：U保持不变，电容增大时，有电荷从电源流向电容器，电容器储能增加。电场力作正功，外力作负功。电源所作的功等于克服外力作功与电容器能量增加之和。习题：

１、一平行板电容器两极板相距为，电位差为４００Ｖ，其间充满了介电常

数为ε＝的玻璃片。略去边缘效应，求玻璃表面上极化电荷的面密度。解： ???Pn?(???0)E?(?r?1)?0E?(?r?1)?0U?7.08?10?6(C/m2)

d２、一平行板电容器由面积都是５０cm2的两金属薄片贴在石腊纸上构成。

已知石腊纸厚为，ε＝２.０，略去边缘效应，问这电容器加上１００Ｖ的电压时，极板上的电荷量Ｑ是多少

解：由电位移的高斯定理可得介质中的D与极板上电荷量的面密度之间的关系

D??为

D??r?0E??r?0U Q??S??r?0dUS?8.9?10?6(C) d３、面积为的两平行金属板，带有等量异号电荷±３０μＣ，其间充满了介电

常数ε＝２的均匀电介质。略去边缘效应，求介质内的电场强度Ｅ和介质表面上的极化电荷面密度。

解：介质内的电场强度为 E?E0?1.7?106(V/m)

?r?0 极板上的极化电荷面密度为 ???(???0)E?1.5?10?5(C/m2) ４、平行板电容器（极板面积为Ｓ，间距为d）中间有两层厚度各为d1和

d2(d1+d2=d),介电常数各为ε１和ε２的电介质层。试求：（１）电容Ｃ；

（２）当金属极板上带电面密度为±σ0时，两层介质分界面上的极化电荷面密度σˊ；

（３）极板间电位差Ｕ；（４）两层介质中的电位移Ｄ。解：（１）C?Q?U?0SE1d1?E2d2??0SE0?1d1?E0?d2?1?2?0S d1?2?d2?1?2（２）????1???2??P1?P2???1??2??1?2?0

ε１ ε （３）U?U1?U2??0d1?2?d2?1

?0?1?2（４）D?D1?D2??0

５、两平行导体板相距，带有等量异号电荷，面密度为20μＣ／m2,其间有两片

电介质，一片厚，ε1＝;另一片厚３.0mm，ε1＝４.0。略去边缘效应，求各介质内的Ｅ、Ｄ和介质表面的σˊ。

解：由介质中的高斯定理得，两介质中电位移的大小为由Ｄ＝εＥ可知Ｅ与Ｄ同方向，Ｅ的大小分别为

两介质表面的极化电荷面密度为

６、一平行板电容器两极板的面积都是, 相距为，两极加上１００００Ｖ电压

后，取去电源，再在其间充满两层介质，一层厚，ε1＝５.0;另一层厚３.0mm，ε２＝２.0。略去边缘效应，求：（１）各介质中的电极化强度Ｐ；

（２）电容器靠近电介质２的极板为负极板，将它接地，两介质接触面上的电位是多少

解：（１）未放入介质时，加上电压Ｕ后，电容器带电量为

Q??S?DS??0ES??0USd

断开电源后，Ｑ不变，σ也不变，两介质中的电位移为介质中的电场强度为 E1?D1?U?1?r1d E2?D2?2?U?r2d

?U 介质中的极化强度为 P1?D1??0E1?(1?1)0?1.4?10?5(C/m2)

?r1d （２）两介质接触面上的电位为

７、如图所示，一平行板电容器两极板相距为d,面积为Ｓ，电位差为Ｕ，其中

放有一层厚为t的介质，介电常数为ε，介质两边都是空气，略去边缘效应，求：

（１）介质中的电场强度Ｅ、电位移Ｄ和极化强度Ｐ；（２）极板上的电荷量Ｑ；

d （３）极板和介质间隙中的场强Ｅ；（４）电容。

ε t

解：（１）由介质中的高斯定理得Ｄ０＝Ｄ＝σ

介质中的极化强度为 P?(?r?1)?0E0?(?r?1)?0U

?r(d?t)?t（２）极板上的电荷量为 Q??S?E0??r?0US?r(d?t)?t

?rU???0?r(d?t)?t （３）各区域的电场强度为

?UE???r?0?r(d?t)?t（４）电容为 C??r?0SQ ?U?r(d?t)?t８、平行板电容器两极板相距3.0cm，其间放有一层ε＝２.0

的介质，位置和厚度如图所示，已知极板上面电荷密度为σ=×10-10C/m2，略去边缘效应，求：（１）极板间各处的P、E和D；（２）极板间各处的电位（设UA=0）；（３）画E-x、D-x、U-x曲线；

（４）已知极板面积为 m2，求电容C，并与不加介质时的电容C0比较。

答：（1）由介质中的高斯定理可得

（2）以A板电位为零，各点的电位为（3）E-x、D-x、U-x曲线分别为 E/V/m D -102×10C/m 100 ?r?0SQ（4）电容为C??=30μμF 50 U?r(d?t)?t 与真空时的电容相比较 C/C0=

0 x/m 0 x/m A –σ +σ B ε X cm 0 1 2 3 2 1 U/V 0 x/m

9、两块平行导体板带有同号电荷，面密度分别为σ1=×10-10C/m2，σ2=×10-10C/m2，两板相距为

1.0cm。在其间平行地放有一块厚为5.0mm的均匀石

腊板，ε＝２.0。略去边缘效应，求：（１）石腊内的E内；

d （２）极板间石腊外的E外；（３）两极板的电位差；

（４）石腊表面的极化面电荷密度σ`。

解：（1）两导体板所带电荷同号，由高斯定理及电荷守恒定律可知

但考察两金属板之间的电场时，可以将每一金属板上的电荷看作

整体。

（3）电位差 U?Et?E0(d?t)?0.14V （4）石腊表面的极化面电荷密度σ`为

1０、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满介质，介质的介电常

数是变化的，在一极板处为ε1，在另一极板处为ε2，其他处的介电常数与到ε1处成线性关系。略去边缘效应，求：（１）电容器的电容；

（２）当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内的极化电荷体密度和

表面上的极化电荷面密度。

ε d/2

解：（1）介电常数的函数关系为 ???2??1dx??1

在导体内任一点 E?E0

两极板之间的电位差 U??Edx?0d?dQln2

S?0??2??1??1 电容器的电容 C?Q?S?0??2??1?

?Udln2?1????Q??0?x(２)极化强度为 P?D??0E??1??

S???x? 极化电荷的体密度为 ??????P????2???dQ ???2???x??1d?2s??1?1?Q?????1??1S? 极化电荷的面密度为 ???Pn?

????1Q??2???2??2S?１１、一云母电容器是由１０张铝箔和９片云母相间平行迭放而成，奇数铝箔

接在一起作为一极，偶数铝箔接在一起作为另一极，如图所示。每张铝箔和每片云母的面积都是,每片云母的相对介电常数ε都是，厚度都是。略去边缘效应，求电容Ｃ。解：可以看作九个电容器并联而成

１２、一平行板电容器两极板相距为d，其间充满

了两部分介质，介电常数为ε1的介质所占面积为Ｓ１，介电常数为ε2的介质所占面积为Ｓ２。略去边缘效应，求电容Ｃ。解：两个电容器并联而成

ε1 Ｓ１

ε２Ｓ２

??0??1S1??2S2?１３、如图所示，C?C?C?12?2?0S2?d?C2??2C0?d?dC1??1C0??1?0S1?一平行板电容器两极板的面积都是Ｓ，相距为d。今在其间平行地插入厚度为t，介电常数为ε的均匀介质，其面积为Ｓ／２。设两板分别带电荷Ｑ和-Ｑ。略去边缘效应，求：

（１）两极板电位差Ｕ；

t ε （２）电容Ｃ；

S/2 S/2 d （３）介质的极化电荷面密度。

解：（１）设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为σ１，另一侧为σ２

（２）电容器的电容为 C?Q??0S?2?d??1??r?t?

U2d??d??1???t?d

（３）极化电荷面密度为 ???Pn????1??0E0?2???1?dQ

?S?2?d??1???t?１４、一平行板电容器两极板的面积都是2.0m2，相距为5.0mm。当两极板之间

是空气时，加上一万伏的电压后，取去电源，再在其间插入两平行介质层，一层厚2.0mm，ε1＝５.0;另一层厚３.0mm，ε２＝２.0。略去边缘效ε１应，求：

（１）介质内的Ｅ和Ｄ；（２）两极板的电位差；（３）电容Ｃ。

解：Ｃ０=ε０Ｓ/d Ｑ＝Ｃ０Ｕ电源断开后，Ｑ保持不变 D1=D2=Q/S=×10-5

ε (C/m2)

（１）E0=U/d E1=E0/ε1 =4×105(V/m) E2=E0/ε2 =1×106(V/m) （２）U=E1d+E2d=3800V （３）C=Q/U=×10-9F

１５、同心球形电容器内外半径分别为Ｒ１和Ｒ２，两球间充满介电常数为ε的均

匀介质，内球的电荷量为Ｑ。求：

（１）电容器内各处的电场强度Ｅ的分布和电位差Ｕ；（２）介质表面的极化电荷面密度；（３）电容Ｃ（它是真空时电容的多少倍）解：（１）由对称性和高斯定理得，介质内的电场强度为

R??Q11 两极板之间的电位差为 U??E?dr?(?) R21ε ＱＲ１Ｒ２ 4??0R1R2（２）介质的极化强度为 P?(???0)E???(???0)Q?r 34??0r 介质的内外两表面上极化电荷的面密度分别为

１６、在半径为Ｒ的金属球外有一层半径为Ｒˊ的均匀介质层（如图所示）。设电介质的

介电常数为ε，金属球带电量为Ｑ，求：

（１）介质层内外的场强分布；（２）介质层内外的电位分布；

ε ＱＲＲ′ （３）金属球的电位。

解：（１）由对称性及高斯定理可求得场强分布为（２）电位分布为

????R???? （３）金属球的电位为U球??E?dl??E?dl?Q?1???1?

??RR?4??0?RR??

１７、一半径为Ｒ的导体球带电荷Ｑ，处在介电常数为ε的无限大均匀介质中。求：

（１）介质中的电场强度Ｅ、电位移Ｄ和极化强度Ｐ的分布；（２）极化电荷面密度。

解：（１）由介质中的高斯定理可求得：

Q?r 34?r??? 电场强度为 E?D?Q3r??04???0r电位移为 D?????Q?极化强度为 P?D??0E????1?r 34??rQ （２）极化电荷面密度为 ???Pn?????1? 24??R１８、半径为Ｒ、介电常数为ε的均匀介质球中心放有点电荷Ｑ，球外是空气。

（１）求球内外的电场强度Ｅ和电位Ｕ的分布；

（２）如果要使球外的电场强度为零且球内的电场强度不变，则球面上

需要有面密度为多少的电荷

解：（１）由高斯定理可求得场强分布为

??DE内??Q4???0r3?r(r?R)

??0R Ｑ ??DE外??Q4??0r3?0?r(r?R)

电位的分布为

（２）要使Ｅ外＝０而Ｅ内保持不变，应使球面上Ｑ′＝－Ｑ

电荷的面密度应为 ???Q 4?R１９、一半径为Ｒ的导体球带电荷Ｑ，球外有一层同心球壳的均匀电介质，其

内外半径分别为a和b，介电常数为ε。求：（１）介质内外的电场强度Ｅ和电位移Ｄ；

（２）介质内的极化强度Ｐ和表面上的极化电荷面密度；（３）介质内的极化电荷体密度为多少解：（１）由介质中的高斯定理可得

a b Q Ｒ ???Q?（２）介质内的极化强度Ｐ为 P?D??0E????1?r 34??r 介质表面的极化电荷面密度为

（３）均匀电介质，介质内极化电荷体密度为０。

２０、球形电容器由半径为Ｒ１的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半

径为Ｒ２，其间有两层均匀介质，分界面的半径为r，介电常数分别为ε１和ε２。

（１）求电容Ｃ；

（２）当内球带电－Ｑ时，求介质表面上的极化电荷的面密度。

解：（１）由介质中的高斯定理可得

电位差为

??R2??Q??2R2(r?R1)??1R1(R2?r)? U??E1?dr??E2?dr?R1r14??0?1?2rR1R2r1r ε１Ｒ１Ｒ2 ε２

电容为 C?Q?U4??0?1?2rR1R2

??2R2(r?R1)??1R1(R2?r)?（２）当内球带电为－Ｑ时，各介质表面的极化电荷面密度分别为２１、球形电容器由半径为Ｒ１的导体球和与它同心的导体球壳构成。壳的内半

径为Ｒ２，其间有一层均匀介质球壳，内外半径分别为a和b，介电常数为ε。

（１）求电容Ｃ；

（２）当内球带电量为Ｑ时，介质表面上的极化电荷面密度。解：（１）由介质中的高斯定理可得电位差为 U?Q?ab?R2(R2?R1)??1????b?a?R1R2?4??0?abR1R2Ｒ b Ｒ１ a 4??0?abR1R2Q电容为 C?? U?ab?R2(R2?R1)??1????b?a?R1R2?（２）当内球带电为Ｑ时，各介质表面的极化电荷面密度分别为２２、球形电容器由半径为Ｒ１的导体球和与它同心的导体球壳构成。壳的内半

径为Ｒ２，其间一半充满介电常数为ε的均匀介质。求电容Ｃ。

解：将球形电容器看成是两个半球形电容器并联而成，其

中一个是空气，另一个是介质。可以证明：

Ｒ２Ｒ１此时电容器的电容等于两壳间充满介电常数为

???02的均匀介质的电容。

２３、圆柱形电容器是由半径为Ｒ１的导线和与它同轴的导体圆筒构成。圆筒的

内半径为Ｒ２，长为l，其间充满了介电常数为ε的介质（如图所示）。设沿轴线单位长度上，导线的电荷为λ０，圆筒的电荷为－λ０，略去边缘效应。求：

（１）介质中的电场强度Ｅ、电位移Ｄ和极化强度Ｐ；（２）两极的电位差Ｕ；

Ｒ１（３）介质表面的极化电荷面密度；（４）电容Ｃ（它是真空时电容的多少倍）解：（１）应用介质中的高斯定理可得

（２）两极间的电位差为 ?U??R2Ｒ２ R1??E?dr?R?ln2 2???0R1（３）介质表面的极化电荷面密度为（４）电容器的电容为 C?Q2???l ?Uln(R2/R1)２４、圆柱形电容器是由半径为a的导线和与它同轴的导体圆筒构成。圆筒的

内半径为b，长为l，其间充满了两层同轴圆筒形的均匀介质，分界面的Ｒ２半径为r，介电常数分别为ε１和ε２（如图所示）。略去边缘效应，求电容Ｒ１Ｃ。

解；由高斯定理可求得场强分布为两极间的电位差为 ?U??E?dr?R1R2???2??1?2?0rb????2ln??1ln?

ar?? 电容Ｃ为 C?

2??1?2?0lQ ?U?2ln(r/a)??1ln(b/r)

２５、一长直导线半径为，外面套有内半径为的导体圆筒，两者共轴。当两者

电位差为５０００Ｖ时，何处的电场强度最大其值是多少与其间介质有无关系］

??D解：电场强度分布为 E???? r22???0rR2?0导线与导体圆筒之间的电位差为 ?U??E?dr?R1??R?ln2 2???0R1 即 E??U ?2???0rrln(R2/R1)在r=R１处，电场强度达到最大，Ｅmax=×105(V/m) 与介质无关２６、求垂直轴线均匀极化的无限长圆柱形电介质轴线上的退极化场，已知极

化强度为Ｐ。

解：取柱坐系如图所示，极轴x沿极化方向，柱面上任一点处外法线与极轴夹z 角为θ。

在柱面上取面积元 dS?Rd?dZ

电荷元为 dq???dS???Rd?dZ?Pcos?Rd?dZ 在Ｏ点处的场强为 dE?dq 224??0R?z1y P x θ 由对称性可知，轴线上的电场只有x分量 E??dEx??P 负号表明轴线处Ｅ的方向与Ｐ相反。 2?0２７、在介电常数为ε的无限大均匀电介质中存在均匀电场Ｅ０。今设想以其中

某点Ｏ为中心作一球面，把介质分为内、外两部分。求球面外全部电荷在Ｏ点产生的场强Ｅ。（Ｅ比Ｅ０大还是小）

解：（１）对于均匀极化的球体，表面上的极化电荷在球心处产生的电场强度

??P（退极化场）为E???

3?0（２）在Ｏ点处，总场强Ｅ０等于球面上极化电荷与球面外极化电荷在Ｏ

???? Ｅ面与Ｅ０方向相反，取Ｅ０方向点产生场强的叠加 E0?E外?E面为正方向

２８、在介电常数为ε的无限大均匀电介质中存在均匀电场Ｅ０。今设想在其中

作一轴线与Ｅ０垂直的无限长圆柱面，把介质分为内、外两部分。求柱面外全部电荷在柱轴上产生的场强Ｅ。

??E0?解：与上题同理，E外?E0?E面???1?E0P??E0 2?02２９、空气的介电强度为３０００ＫＶ／m，问直径为,和的导体球，在空气中

最多各能带多少电荷量解：E?14??0?Q1?8.3?10?9CQ Q?4??0Er2?Q2?8.3?10?11C 2?r?Q?8.3?10?13C?3３０、空气的介电强度为３.０×1０6Ｖ／m，铜的密度为cm3,铜的原子量为

mol，阿伏伽德罗常数为Ｎ０＝×1０／mol，金属铜里每个铜原子有一个自由电子。

（１）问半径为的铜球在空气中最多能带多少电荷量

（２）这铜球所带电量最多时，求它所缺少或多出的电子数与自由电子总

数之比；

（３）因导体带电时电荷都在外表面上，当铜球所带电荷量最多时，求它

缺少或多出的电子数与表面一层铜原子所具有的自由电子数之比。

解：（１）Q?4??0Er2?3.36?10?8C

（２）铜球带电量最多时，所缺少或多出的电子数N1?Q/q0?2.1?1011个

铜球所带的自由电子的总数 N2?Ｎ１／Ｎ２＝×10-13倍

（３）每个铜原子的体积为v?V?N43?R343?R?NA/?3mN4NA??R3?A?3.5?1023个 ?3???线度为 ?NAl?v13??????NA?????13

1?铜球表面一层原子的体积为 VS?4?R2l?4?R2????NA??3 ???2表面一层的铜原子数为

???4?R???N??VSA??NS??v??????N??A??213??NA?4?R2????????3

Ｎ１与ＮＳ之比为

???4?R2???N??N1QA???/NSe??????N??A??13?E?????0max??e??NA??23?8.7?10?6

３１、空气的介电强度为３０００ＫＶ／m，问空气中半径为,和的长直导线上

单位长度最多各能带多少电荷量

解：E?? ?max2??0r??1?1.7?10?6C/m??2??0Er??2?1.7?10?7C/m

???1.7?10?8C/m?3３２、空气的介电强度为３０kＶ／cm，今有一平行板电容器，两极板相距为，

板间是空气，问能耐多高的电压

解：E??U? Umax?Ed?15000V ?0dmax３３、空气的介电强度为３０００Ｖ／m，当空气平行板电容器两极板的电位差

为５０kV时，问每平方米面积的电容最大是多少解：d??S?SE??EU C?0?0 C0?0?0?5.31?10?10F

dUdUE３４、一圆柱形电容器，由直径为５.0cm的直圆筒和与它共轴的直导线构成，

导线的直径为５.0mm，筒与导线间是空气，已知空气的击穿场强是３０kＶ／cm，问这电容器能耐多高的电压解：Emax?rr?? U?ln外?Emaxr内ln外?1.7?104V 2??0r内2??0r内r内３５、两共轴的导体圆筒，内筒外半径为Ｒ１，外筒内半径为Ｒ２（Ｒ２<２

Ｒ！），其间有两层均匀介质，分界面的半径为r,内层介电常数为ε1，外层介电常数为ε２＝２ε1／２，两介质的介电强度都是ＥＭ。当电压升高时，哪层介质先击穿证明：两筒最大的电位差为 UMR2????解： E? U??E?dr?R12??0?r2??02EMrR2。 ?ln2rR12?1r0R2?R21? ?ln??ln?lnr0?2??0?1R1r0??1R1?2

E1max?E2max?2E2RR2?2R1R1ln(R2/R1r0)——→E2M?2R1?R???2M?1?2?1

E1Mr0E1Mr0r02UM2r0ln(R2/R1r0)UM E2M?E1M 电压逐渐增高时，外层场强首先达到ＥＭ。使介质击穿。３６、一圆柱形电容器内充满两层均匀介质，内层是介电常数为ε1＝的油纸，

其内半径为；外层是介电常数为ε２＝的玻璃，其外半径为。已知油纸的介

电强度为120kV /cm，玻璃的介电强度为100kV /cm。问这电容器能耐多高的电压当电压逐渐升高时，哪层介质先被击穿

R??1r0???1r01R2?1R2?解：U??E?dr?ln?ln?E?rln?ln? M???R2??0??1R1?2r0?r0???1R1?221电容器最大耐压为４５ＫＶ。当电压逐渐升高时，内层先被

击穿。

３７、设一同轴电缆里面导体的半径是Ｒ１，外面导体的内半径是Ｒ３，两导体

间充满了两层均匀介质，它们的分界面是Ｒ２，设内外两层介质的介电常数分别为ε1、和ε２，它们的介电强度分别为Ｅ１和Ｅ２，证明：当两极（即两导体）间的电压逐渐升高时，在ε1Ｅ１Ｒ１>ε２Ｅ２Ｒ２的条件下，首先被击穿的是外层电介质。解： E1??? E2? 2??1r2??2r 每层介质能承受的最大带电量为 ?1max?2??1R1E1

?2max?2??2R2E2

若 ?2max??1max 则外层介质首先被击穿。即 ε1Ｅ１Ｒ１>ε２Ｅ２Ｒ２

３８、一平行板电容器极板面积为Ｓ，间距为d，电荷为±Ｑ。将一块厚度为

d，介电常数为ε的均匀电介质板插入极板间空隙。计算：（１）静电能的改变；（２）电场力对介质板作的功。

Q2Q2Q2???1?d解：（１）静电能的增量为 ?W?W?W0? ???2C2C02??0S （２）将介质板插入电容器的过程中，与电源断开连接，电场力作正功，静电能减少。

Q2???1?d 电场力所作的功为 A??W?

2??0S３９、一平行板电容器极板面积为Ｓ，间距为d，接在电源上以维持其电压为

Ｕ。将一块厚度为d，介电常数为ε的均匀电介质板插入极板间空隙。计算：

（１）静电能的改变；（２）电场对电源所作的功；（３）电场对介质板所作的功。

?0S???1?U21122解：（１）静电能的增量为 ?W?W?W0?CU?C0U?

222d （２）在此过程中，极板上电量的增量为

?q?q?q0?(C?C0)U??0S???1?Ud

电量增加，电源对电场作正功，电场力作负功。

A电场??U?q???0S???1?U2d

（３）能量守恒。电场对介质板作功为 A?A电源对电场作功??W??0S???1?U22d

４０、一平行板电容器是边长为a的正方形，间距为d，电荷为±Ｑ。将一块厚

度为d，介电常数为ε的均匀电介质板插入一半，它受力多少什么方向

222QQdQ解：设介质板插入部分长为l W? ??????2C2C1?C22?0aa?l??l2dQ(??1) 方向沿吸入电介质板的方向 ?W 根据虚功原理 F??|a??ll?22?0a3?1???４１、两个相同的平行板电容器，它们的极板面积都是半径为１０cm的圆形，

极板相距都是。其中一个两板间是空气，另一个两板间是ε＝２６的酒精。把这两个电容器并联后充电到１２０Ｖ，求它们所蓄的总电能；再断开电源，把它们带异号电荷的两极板分别联在一起，求这时两者所蓄的总电能。少的能量哪里去了

解：（１）W?1?C1?C2?U2?5.4?10?5J

22Q1 （２）Q?Q2?Q1??C2?C1?U W??4.7?10?5J 2?C1?C2?减少的能量大部分在导线电阻上转化为热，小部分在电容器放电过程中对外辐射。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§ 电场的能量和能量密度

１、真空中一个均匀带电导体球，半径为Ｒ，带电量为q,求电场能量的一半分

布在半径多大的球面内。

解：半径为Ｒ，带电量为q的导体球所储存的静电能为 W? 当静电能量为一半时，r=2R

q28??0R

２、空气中一直径为１０cm的导体球，电位为８０００Ｖ。问它表面处的场

能密度（即单位体积内的电场能量）是多少解：导体球带电分布在表面上，E?q4??0R2 U?q4??0R

３、在介电常数为ε的无限大均匀介质中，有一半径为Ｒ的导体球，带电荷

Ｑ。求电场的能量。

12q2解： E外? W???EdV?

R24??0?r28??0?rRq?４、半径为的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，壳的内外半径分别为

和。球与壳间是空气。当内球的电荷量为×10-8C时，（１）这个系统储藏了多少电能

（２）如果用导线把壳与球连在一起，结果如何解：（１）W??R1?11?0E2dV???0E2dV?18.2?10?5J

R222R （２）导线连接球与壳，成为等位体，电荷将分布在外表面上，内部场强为零。

５、球形电容器的内外半径分别为Ｒ１和Ｒ２，电位差为Ｕ。

（１）求电位能；（２）求电场的能量；比较两个结果。解：（１）电容器储存的静电能量等于外力将电荷Ｑ从外壳移到内壳所作的功。

1Q2R2?R12??0R1R222（２）电场的能量W???0EdV??U

R228??0R1R2R2?R1R2结果完全相同。

６、半径为a的导体圆柱外面，套有一半径为b的同轴导体圆筒，长度都是

l，其间充满介电常数为ε的均匀介质。圆柱带电为Ｑ，圆筒带电为－Ｑ。略去边缘效应，

（１）整个介质内的电场总能量Ｗ是多少

Q2（２）证明：W?

2C??解：（１）介质中的电场强度为 E?Qe r2??rl??Q2 r处的电场能量为 w?1E?D?1?E2?2 22228??rlbQ2Q2b 整个介质内的电场总能量为 W??wdV?? 2?rldr?lnVa8?2?r2l2a4??l （２）W?Q24??lln2??lb C?

balna2 介质中的总能量为 W?Q

2C７、半径为a 的长直导线，外面套有共轴的导体圆筒，筒的内半径为b，导线

与圆筒间充满介电常数为ε的均匀介质，沿轴线单位长度上导线带电量为λ，圆筒带电为－λ。略去边缘效应，求沿轴线单位长度的电场能量。

??解：介质中的电场强度为 E??e r2??r 介质中单位长度的电场能量为 W??0b12?2?2b ?EdV??2?rdr?lnV8?2?r22a4??l８、圆柱电容器由一长直导线和套在它外面的共轴导体圆筒构成，设导线的半

径为a，圆筒的内半径为b.证明：这电容器所储藏的能量有一半是在半径为r?ab的圆柱体内。解：电容器储存的总能量为 W?Q24??llnb a即：能量有一半是在半径为r?ab的圆柱体内。

第二章结束第三章稳恒电流

§ 电流的稳恒条件和导电规律

思考题：

1、电流是电荷的流动，在电流密度j≠0的地方，电荷的体密度ρ是否可能等于0

答：可能。在导体中，电流密度j≠0的地方虽然有电荷流动，但只要能保证该

处单位体积内的正、负电荷数值相等（即无净余电荷），就保证了电荷的体密度ρ＝０。在稳恒电流情况下，可以做到这一点，条件是导体要均匀，即电导率为一恒量。

2、关系式U=IR是否适用于非线性电阻

答：对于非线性电阻，当加在它两端的电位差Ｕ改变时，它的电阻Ｒ要随着Ｕ的改

变而变化，不是一个常量，其Ｕ－Ｉ曲线不是直线，欧姆定律不适用。但是仍可以定义导体的电阻为Ｒ＝Ｕ／Ｉ。由此，对非线性电阻来说，仍可得到Ｕ＝ＩＲ的关系，这里Ｒ不是常量，所以它不是欧姆定律表达式的形式的变换。对于非线性电阻，Ｕ、Ｉ、Ｒ三个量是瞬时对应关系。

3、焦耳定律可写成P=I2R和P=U2/R两种形式，从前者看热功率P正比于R，从后式看热功率反比于R，究竟哪种说法对

答：两种说法都对，只是各自的条件不同。前式是在Ｉ一定的条件下成立，如

串联电路中各电阻上的热功率与阻值Ｒ成正比；后式是在电压Ｕ一定的条件下成立，如并联电路中各电阻上的热功率与Ｒ成反比。因此两式并不矛盾。

4、两个电炉，其标称功率分别为W1、W2，已知W1>W2，哪个电炉的电阻大答：设电炉的额定电压相同，在Ｕ一定时，Ｗ与Ｒ成反比。已知W1>W2，所以Ｒ1

5、电流从铜球顶上一点流进去，从相对的一点流出来，铜球各部分产生的焦耳热的情况是否相同

答：沿电流方向，铜球的截面积不同，因此铜球内电流分布是不

均匀的。各点的热功率密度p=j2/σ不相等。

6、在电学实验室中为了避免通过某仪器的电流过大，常在电路中串接一个限流的保护电阻。附图中保护电阻的接法是否正确是否应把仪器和保护电阻的位置对调

答：可以用图示的方法联接。当调节保护电阻Ｒ时可以改变回路

的电流，保护仪器免受大电流的冲击。Ｒ的作用与其在串联电路中的位置无关，因此不必将仪器和保护电阻的位置对调。

仪器保护电阻 7、将电压U加在一根导线的两端，设导线截面的直径为d，长度为l。试分别讨论下列情况对自由电子漂移速度的影响：（1）U增至2倍；（2）l增至2倍；（3）d增至2倍。

答：导体中自由电子的漂移速率是 u?I neS（１）当l、Ｓ不变，Ｕ增至２倍时，由Ｕ＝ＩＲ可知，Ｉ也增至２倍，故

u增至２倍；

（２）当Ｓ、Ｕ不变，l增至２倍时，由电阻定律R??l可知Ｒ增至２S倍；再由Ｕ＝ＩＲ可知，Ｉ减小到原来的１／２。故u减小到原来的１／２；

1（３）当Ｕ、l不变，d增至2倍，S??d2增至４倍时，由电阻定律可

4知，Ｒ减小到原来的１／４，Ｉ将增至４倍，结果u保持不变。

8、在真空中电子运动的轨迹并不总是逆着电力线，为什么在金属导体内电流线永远与电力线重合

答：在真空中，电子的运动轨迹一般说来不是逆着电力线，只在电子的初速度

为零，电力线是直线的情况下，电子才逆着电力线运动。在金属导体中，

??电流密度与电场强度的关系遵从欧姆定律j??E，即在金属导体中任一

点，j 的方向与Ｅ的方向一致，而某点j的方向就是该点电流线的方向，Ｅ的方向就是该点电力线的方向。所以金属导体内电流与电力线永远重合。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――

――――― 习题：

1、一导线载有10A直流电流，在20s内有多少电子流过它的横截面解：n?QIs??1.25?1021（个） ee2、技术上为了安全，铜线内电流密度不得超过6A/mm2，某车间需用电20A，导线的直径不得小于多少

d2解：I?jS?j?r?j? d?424I?2.06mm j?

3、试根据电流的连续方程证明：在稳恒条件下通过一个电流管任意两个截面的电流强度相等。

j Ｓ２

证明：以电流管侧壁及两个任意截面Ｓ１、Ｓ２构成一个闭合面。对此闭合面，由电流连续方程???j?dS???jdS??jdS?0

S1S2Ｓ S 得?jdS??jdS 即Ｉ２＝Ｉ１

SS214、有一种康铜丝的横截面积为，电阻率为ρ=49×10-8Ω·m。用它绕制一个Ω的电阻，需要多长解：R??RSl l??1.22m

?S5、在某一电路中，原准备用横截面积为10mm2的铜导线作输电线，为了节约用铜，改用相同电阻，相同长度的铝线代替，问应选用多大横截面积的铝导线

解：R??1l??2l?S2?15.6mm2

S1S26、附图中两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别为σ1、σ2的均匀导电介质，其厚度分别为d1、d2，导体的截面积为S，通过导体的稳恒电流为I，求：

（１）两层导电介质中的场强Ｅ1和Ｅ2；（２）电位差ＵＡＢ和ＵＢＣ。解：（1）E?UIRIdI ????dddS?SＡＢ I σ1 σ2 d1 d2

I Id （2）U1?E1d1?Id1?IR1 U2?E2d2?2?IR2

?2S?1S

７、一个铜圆柱体半径为a，长为l，外面套有一个与它共轴且等长的圆筒，筒

的内半径。在柱与筒之间充满电导率为σ的均匀导电物质。如附图所示。求柱与筒之间的电阻。

b 解：在柱与筒之间，沿半径方向，横截面积是变化的量

８、把大地可看成均匀的导电介质，其电阻率为ρ。用一半径为a的球形电极与

大地表面相接，半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可以忽略。试证明此电极的接地电阻为 R?a l ? 2?aa 解：取与球心相距为r，厚度为dr的半球壳

９、一铂电阻温度计在００Ｃ时的阻值为Ω。当浸入正在熔解的三氯化锑中时，阻值变为Ω。求三氯化锑的熔点。已知铂电阻的温度系数α=度－１。解：R?R0(1??t)?t?73.50C

１０、电动机未运转时，在２００Ｃ时它的铜绕组的电阻是５0Ω。运转几小时

后，电阻上升到５８Ω。问这时铜绕组的温度为多高解：

R1?R0(1??t1)R2?R0(1??t2)?t2?60.9C0

１１、求２２０Ｖ１５Ｗ和２２０Ｖ２５Ｗ灯泡的灯丝电阻和工作电流。解：灯丝电阻和工作电流分别为

１２、在２２０Ｖ电路上，接有３０Ａ允许电流的保险丝，问在此电路上可接

多少个４０Ｗ的灯泡解：nP=IU n=165个

１３、有一个标明１kΩ４０Ｗ的电位器，问：

（１）允许通过这个电位器的最大电流是多少安培（２）允许加在这个电位器上的最大电压是多少伏特（３）在这个电位器上加１０Ｖ的电压时，电功率是多少解：（１）P=UI=I2R Imax=

（２）Ｐ＝Ｕ２／ＲＵmax=２００Ｖ（３）Ｕ＝１０Ｖ时，Ｐ＝Ｕ２／Ｒ＝

１４、室内装有４０Ｗ电灯两盏，５０Ｗ收音机一台，平均每日用电五小时。问：

（１）总闸处应装允许多大电流通过的保险丝（２）每月（以３０日计算）共用电多少度答：（１）Ｐ＝ＵＩＩ＝（２）Ａ＝ＩＵt＝度

１５、某工厂与配电所相距１０００m，其间有两条输电线，每条线的电阻是Ω

/km。工厂用电为５５kW。入厂时两输电线间的电压Ｕ＝２２０Ｖ，求配电所所输出的功率。

答：线路中的电流为Ｉ＝Ｐ／Ｕ＝２５０Ａ线路上消耗的功率Ｐ′＝Ｉ２Ｒ＝２５KW

配电所输出的功率Ｐ０＝Ｐ＋Ｐ′＝８０ＫＷ

１６、实验室常用的电阻箱中每一电阻的额定功率规定为Ｗ。试求其中1００Ω

和１０Ω电阻的额定电流。

解：Ｐ＝Ｉ２Ｒ I1＝50mA I2=158mA １７、推导焦耳定律的微分形式。解：取一小电流管Ｉ＝j△S R??消耗功率为 P?I2R??j?S?2??l ?S?l?j2???S?l? ?S单位体积消耗功率（功率密度）为

(?E)2P2p??j????E2

?V?１８、一铜导线的直径为，载有２００Ａ电流，已知铜内自由电子的数密度为

n=×1022／cm3,求其中电子的漂移速率。解：u?jI??1.87?10?4m/s neneS１９、已知铜的原子量为，密度为cm3,在铜导线里，每一个铜原子都有一个自

由电子，电子电荷大小为e,阿伏伽德罗常数为Ｎ０。

（１）技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过jM=6A/mm2，求电流密度

为jM时，铜内电子的漂移速度。

（２）按下列公式求Ｔ＝３００Ｋ时铜内电子热运动的平均速率：

v?8kT。式中m是电子的质量，k是玻耳兹曼常数，Ｔ是绝对温度。?m平均速率是u的多少倍解：（１）u?j?4.5?10?2cm/s ne

（２）v?8kT?10.8?106cm/s

?m 二者比值为 ×108

２０、一铜棒的横截面积为20×80mm2，长为，两端电位差为５０mV。已知铜的

电导率σ＝×107 西门子／米，铜内自由电子的电荷密度为×1010C/m3。求：

(１）它的电阻Ｒ；（２）电流Ｉ；（３）电流密度的大小；（４）棒内

电场强度的大小；

（５）消耗的功率Ｐ；（６）一小时所消耗的能量Ｗ；（７）棒内电子的

漂移速率u。

解：（１）电阻为 R??l?2.2?10?5? S（２）电流为Ｉ＝Ｕ／Ｒ＝２３００Ａ（３）电流密度的大小为 j＝Ｉ／Ｓ＝Ａ／mm2 （４）电场强度的大小为Ｅ＝j/σ＝２５mV/m （５）消耗的功率为Ｐ＝ＩＵ＝１１５Ｗ（６）一小时消耗的能量为Ｗ＝Ｐt＝×105J （７）电子的漂移速率为 u=j/ne=×10-2c/s

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§ 电源及其电动势

思考题：

１、有两个相同的电源和两个相同的电阻如图a所示电路

a 联接起来，电路中是否有电流a、b两点是否有电压若将它们按图b所示电路联接起来，电路中是否有电流a、b两点是否有电压解释所有的结论。

答：在图a中，I?????0，电路中无电流；由于回路中

2?r?R?ε,r R b

ε,r R 图a

ε,r R a ε,r R

无电流，每个电阻两端的电压为零，电池负极与b点等电位，正极与a点等电位，电池两端的电位差即是a、b两点间的电压。Ｕab＝ε。

图b

在图b中，I??????，电路中有电流。若设b点电位为零，则a点

2?r?R?r?R电位为 Ua????r?R(r?R)?0，Ｕab＝０。

２、一个电池内的电流是否会超过其短路电流电池的路端电压是否可以超过电动势

答：当Ｒ＝０时，电流为最大，Ｉ＝ε／r .r一定时，电池内的电流不会超过短路电流。

当电池充电时，电池的路端电压可以超过电动势。Ｕ＝ε＋Ｉr ３、试想出一个方法来测量电池的电动势和内阻。

答：将待测电池与安培计、电阻箱、电键串联在一个闭合回路中。取Ｒ＝Ｒ１时，测得电流Ｉ１，ε－Ｉ1（r＋Ｒ１）=０取Ｒ＝Ｒ２时，测得电流Ｉ２，ε－Ｉ２（r＋Ｒ１）=０

?I1R1?I2R2联立解得 ??I1? r????R1?I?I??21?I1R1?I2R2

I2?I1（也可将待测电池与伏特计并联，再与电阻箱和电键串联在一个闭合回路中，测得外电阻

不同时的两组路端电压，求得电源电动势和内阻）

４、当一盏25W100Ｖ的电灯泡联接在一个电源上时，发出正常明亮的光。而一盏500W110Ｖ的电灯泡接在同一电源上时，只发出暗淡的光。这可能吗说明原因。

答：阻抗不匹配时可能出现以上情况。如果电源的电动势一定，电源内电阻与Ｒ比较不可

忽略。当灯泡接上电源时——

25W的灯泡U2??1?r/R2正常发光，说明恰好在额定电压１００Ｖ下工作。

500W的灯泡U1??1?r/R1,实际电压小于其额定电压，所以暗淡。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题：

１、电动势为１２Ｖ的汽车电池的内阻为Ω,问：

（１）它的短路电流多大

（２）若启动电流为１００Ａ，则启动马达的内阻多大解：（１）短路电流为Ｉmax＝ε／r＝２４０Ａ（２）Ｉ＝１００Ａ时，Ｒ＝（ε／Ｉ）－r＝Ω

２、如附图所示，在电动势为ε,内阻为r的电池上联接一个Ｒ1=Ω的电阻时，

测出Ｒ１的端电压为。若将Ｒ1换成Ｒ２=Ω的电阻时，其端电压为。求此电池的ε和r。

解：应用欧姆定律可得

Ｒ

εr U1???I1r1U2???I2r2——→

I1?0.8AI2?1.2A——→

??12vr?5.0?

３、在附图中，ε＝，r=Ω,R=Ω,当开关闭合时ＵＡＢ、ＵＡＣ和ＵＢＣ分别是多少

当Ｋ断开时，又各为多少

Ａ解：（１）Ｋ闭合时，Ｉ＝ＵＡＢ＝ＩＲ＝５Ｖ＝ＵＡＣ（２）Ｋ断开时，Ｉ＝０

ＵＡＢ＝０ＵＡＣ＝ＵＢＣ＝＝６ｖ４、在上题中，Ｋ闭合时，电源的输出功率为多少解：Ｋ闭合时，电源对外供电，输出功率为Ｐ＝ＩＵＡＢ＝（或者Ｐ输出＝Ｉε－Ｉ２r）

５、如图所示，若两电源都是化学电池，电动势ε′＝６Ｖ，ε＝４Ｖ，内阻r′

＝０.1Ω, r＝０.1Ω.求：（１）充电电流；

（２）每秒内电源ε′消耗的化学能；

ε,r

R BＫ

ε,r

Ｃ

ＵＢＣ＝０

ε′r′

（３）每秒内电源ε获得的化学能。解：（１）充电电流为 I?????r?r??10A

（２）每秒内电源ε′消耗的化学能为 P??I???60J

（３）每秒内电源ε获得的化学能为 P?I??40J

（消耗在两电源内电阻上的能量为Ｐ＝２０Ｊ）

６、求图示中Ａ、Ｂ、Ｃ三界面上的面电荷密度。

ＡＢ解：电流均匀分布在横截面上，设Ａ、Ｂ、Ｃ三界面上

的面电荷密度分别为σＡ、σＢ和σＣ

d1 d2

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§ 简单电路

思考题：

１、在两层楼道之间安装一盏电灯，试设计一个线路，使得在楼上和楼下都

能开关这盏电灯。

答：可以选用两只单刀双掷开关。电路图如图所示。

ＫＫ I σ1 σ2 I × ２、附图中Ｒ０为高电阻元件，Ｒ为可变电阻，（Ｒ<<Ｒ０），试论证，当Ｒ

改变时，ＢＣ间的电压几乎与Ｒ成正比。答：设电源电动势为ε，内电阻可以忽略，

ＡＢＣＲＲ

３、试论证在附图所示的电路中，当数量级为几百欧姆的负载电阻Ｒ变化

时，通过Ｒ２的电流Ｉ及负载两端的电压Ｕab几乎不变。 10k R1 答：设电源电动势为ε，内电阻为r，总电流为Ｉ总，Ｒ２与Ｒ并联，IR2?(I总?I)R

1Ω R2 R a Ｉ b R>>R2, 可见当Ｒ变化时，Ｉ及Ｕab几乎不变。当Ｒ２与Ｒ相比小到可以忽略时，

I??(R1?r?R2) Uab?IR2??R2(R1?r?R2) 与Ｒ无关

４、（１）在附图中由于接触电阻不稳定，使得ＡＢ间的电压不稳定。为什

么对于一定的电源电动势，在大电流的情况下这种不稳定性更为严重Ａ（２）由于电池电阻r 不稳定，也会使得ＡＢ间的电压不稳定。如果这时我们并联一个相同的电池，是否能将情况改善为什么答：（１）设由于接触电阻不稳定而产生的附加电阻为Ｒ′ UAB?IR?IR? Ｉ越大，ＵＡＢ受到的影响越大。（２）电池并联时，UAB???r?R，当r变化时，对ＵＡＢ影?R?r/22R?r/2负载 ?响较小，情况能够得到改善。

５、附图所示的这种变阻器接法有什么不妥之处答：在图示电路中，如果滑动变阻器的触点滑到Ａ

点时，易造成电源短路，损坏电源。６、实验室或仪器中常用可变电阻（电位器）作

Ｒ1为调节电阻串在电路中构成制流电路，用以调

变阻器ＡＢＲ2 a

负载Ｒ1负载Ｒ2 b

节电路的电流。有时用一个可变电阻调节不便，须用两个阻值不同的可变电阻，一个作粗调（改变电流大），一个作细调（改变电流小），这两个变阻器可以如图a串联起来或如图b并联起来，再串入电路。已知Ｒ１较大，Ｒ２较小，问在这两种联接中哪一个电阻是粗调，哪一个是细调答：（１）在串联电路中，Ｒ１较大，对电路中电流影响较大，Ｒ１是粗调，Ｒ２是细调。

（２）在并联电路中，Ｒ１较大，对电路中电流分流作用较小，Ｒ１是细调，Ｒ２是粗调。

７、为了测量电路两点之间的电压，必须把伏特计并联在电路上所要测量的

两点，如图所示，伏特计有内阻，问：

（１）将伏特计并入电路后，是否会改变原来电路中的电流和电压分配（２）这样读出的电压值是不是原来要测量的值（３）在什么条件下测量较为准确

?R1?R2?rR1 RA 2 B V

解：未并伏特计时，通过Ｒ２的电流为 I2?Ａ、Ｂ两点间的电压为 UAB?I2R2??R2R1?R2?r

并入伏特计后，通过Ｒ２的电流为 I2??Ａ、Ｂ两点间的电压为

?U?AB?I2R2??(r?R1)?R2RV/(RV?R2)

?R2(r?R1)?R2RV/(RV?R2)??1?11?R2?1(r?R1)???R?R??RV2??V

可见并入伏特计后对原电路的电流和电压都有一定的影响。读出的电压值并不等于原来要测量的值。只有当ＲＶ>>R２时，所测值较为准确。

８、为了测量电路中的电流强度，必须把电路断开，将安培计接入，如图所

示，安培计有一定的内阻，问：

（１）将安培计接入电路后，是否会改变原来电路中的电流（２）这样读出的电流值是不是原来要测量的值（３）在什么条件下测量较为准确答：未接入安培计时，电路中的电流为 I??R1?R2?rＡ R1 R2

，改变原来电路

安培计接入电路后，电路中的电流为 I??中的电流。

读出的电流值不是原来要测量的值。

?R1?R2?RA?r只有当ＲA<

９、测量电阻的一种方法是在电阻上加上一定的电压，用伏特计测出电阻两

端的电压Ｕx,同时用安培计测出通过电阻的电流强度Ｉx，由公式Ｒ＝Ｕx／Ix算出待测电阻的阻值。这种测量方法叫做伏安法。用伏安法测量电阻时，电路的连接方法有两种，如附图a 、b所示。由于安培计、伏特计都有一定UA Ux Ix 的内阻，这样测出的值是准确的吗如果安培计的内阻ＲＲＡ＝Ω，伏特计的内IV ＡＲ阻ＲＶ＝２.0kΩ，采用哪一种联接方法测量误差较小若Ｒ大约为１０Ω，采ＶＡＶ用哪种联接较好

图a

IA?U/RVU答：（１）在图a中，Rx?U?IARA，在图b中，Rx图?b 。可见Ｒx并

不等于U/IA, 因此用Ｒx＝Ｕ／IＡ来计算Ｒx并不准确。

（２）当Ｒx>>RA时，用图a的联接方法测量误差较小。

当Ｒx<

（３）Ｒ＝１０Ω时，采用图b方法较好。１０、

测量一个灯泡（标称２２０Ｖ５０Ｗ）在２２０Ｖ电压下所消耗

的功率。已知伏特计的灵敏度为１０００Ω／Ｖ，安培计的内阻为Ω,问安培计和伏特计应按图a 还是按图b联接，可使测量的误差较小 × Ａ ×Ｖ２Ｖ A 答：灯泡电阻为Ｒ＝Ｕ／Ｐ＝968Ω，ＲＡ＝Ω，选用伏特计量程为０～250Ｖ，

a 则ＲＶ＝25000Ω。

2RA?0.005W 接a电路时，电流表有分压作用， ?P?IAUA?IA2/RV?0.0002W 误差较小。接b电路时，电压表有分流作用， ?P?UA１１、把一个表头改装成安培计，其量程和内阻是加大还是减小能不能

改装出量程比原来的表头更小的安培计

答：把表头改装成安培计，采用分路分流的办法。用一个比表头电阻低的电阻与表头并

联，从而得到一个内阻减小，量程扩大的安培计。由于表头的设计是按通过表头的额定电流值来确定的，将电阻与表头串联或并联都不能改变其内部结构，故不改变其额定电流，因此不能改装出量程比原来更小的安培计。

１２、要把一个表头Ｇ改装成多个量程的安培计，

Ｇ Rs1 Rs2 Rs3 I1 I2 I3 Ig 有两种方式：

（１）如图a所示，表头通过波段开关和不同的分流电

阻Ｒs1、Ｒs2…并联。这种电路叫做开路转换式。

（２）如图b所示，电阻Ｒ1、Ｒ2…与表头联成一个闭合回路，从不同的地

方引出抽头。选择联接表头的两个抽头之一Ｇ为公共端，它和其他任何一个抽头配合，得R1 R2 R3 到一种量程的安培计。这种电路叫做闭路抽头式。

公共端

I1 I2 I3

试比较这两种电路的优缺点。

答：开路转换式的优点是，各量程的分流电阻是独立的，各量程之间互不影

响，便于调整。但电路的误差和阻尼时间随各量程分流电阻阻值改变而变化；同时由于各转换装置的接触电阻包括在测量电路之内，所以仪表误差不稳定。最大缺点是当转换开关K接触不良，或者造成分流电阻断路时，将会有很大的电流通过表头而将表头烧毁。使用时不够安全。

闭路抽头式电路的最大优点是使用安全。当转换开关接触不良时，表头仅有极小的电流通过。若转换开关造成分流电阻断路，表头没有电流通过；与仪表测量机构形成闭合回路的电阻值不随量程改变而变化。因此仪表的阻尼时间是不变化的。由于量程转换开关方式引起的接触电阻与分流电阻的阻值无关，只串联在电路中，所以引起的误差极小。闭路抽头式电路的缺点主要是分流电阻中某一电阻阻值的变化，不同程度的影响各量程，因此调整误差有一定的困难。一般要经过几次反复才能将各量程的阻值调整好。

１３、附图中所示是一个由表头Ｇ改装成的多量程伏特计的电路。每个抽头与公共端组成一种量程。Ｕ１、Ｕ２、Ｕ３三个量程中哪个最大哪个最小各档的

Rm1 Rm2 Rm3 Ｇ满度电流是否相同使用各档时，表头上的电压降是否一样答：（１）伏特计的电压扩程 U?Ig(Rm?Rg) 公共端各量程的大小取决于扩程电阻阻值的大小。Ｕ3>U2>U1

（２）表头内阻与各量程的扩程电阻串联，各档的满度电流Ｉg相同。（３）使用各档时，Ｉg及Ｒg一定，Ｕg=ＩgＲg相同１４、（１）若在附图中所示的电桥电路中分别在a、b、

a c、d处断了，当滑动头Ｃ在ＡＢ上滑动时，检流计的指针各有何表现

（２）若当滑动头Ｃ在ＡＢ上无论如何滑动，检流

计都不偏转，这时用一伏特计联在ＣＤ间，发现伏特计有偏转，能否判断是哪根导线断了

答：（１）若a 处断开，ＵD>UC,Ｃ从Ａ→Ｂ时，电流从大→小；若b 处断开，ＵD

ＡＧ

U1 U2 U3 D b d Ａ C B c ε,r ＲＣ εx Ｂ

１５、在电位差计电路中，若电源ε和待测电源εx的电动势相等，滑动头Ｃ在

ＡＢ上能否找到平衡点答：设Ｃ点为平衡点。按照平衡条件 ?x?RAC

?RAB?R?r 若εx＝ε

RAC?1 这是不可能的。所以此时ＡＢ上不能找到平衡点。

RAB?R?r１６、在上题中，若ε和εx的电动势分别为和,RAB=10Ω.为了找到平衡点，对Ｒ

的数值有什么限制

答：ＵＡＢ＝ＩＲＡＢ≥εx 即Ｉ≥εx／ＲＡＢ＝

由全电路欧姆定律得Ｉ＝ε／（Ｒ＋ＲＡＢ）Ｒ≤Ω １７、在附图中，Ｔ是平衡点，若将滑动头Ｃ分别与

Ｄ或Ｓ点接触，通过检流计的电流方向如何

Ａ答：Ｃ在平衡点Ｔ时检流计中无电流。ＵＡＴ＝εx 当Ｃ与Ｄ接触时，ＵＡＤ<εx，通过检流计的电流

从左→右；

当Ｃ与Ｓ接触时，ＵＡＳ>εx，通过检流计的电流从右→左。１８、若在附图中a处的导线断了，当滑动头Ｃ在Ａ

Ｂ间滑动时，将会观察到检流指针有何表现若在b处的导线断了，情况如何

ＡＢ

Ｃ ╳ b Ｇ

ε,r ＲＤＴＳＣＧＢ

εx

ε,r Ｒ ╳

εx

答：若在a 处断开，有电流通过检流计，当Ｃ从Ａ→时，通过检流计的电流由小→大，方向为左→右；若在b处断开，检流计中无电流通过。

１９、用电位差计测量电路中两点之间的电压应如何进行

答：（１）联接电路。按标记将供电电源、标准电池、检流计、待测电路接

好。注意正负标记，供电电源的电动势应大于标准电池的电动势和待测电路的电压值。

（２）校准。将转换开关拨到“标准”，把标准电池接入补偿回路，调整制

流电阻，使检流计指针没有偏转，此时工作电流即为标准值。（３）测量。固定制流电阻，将开关拨到“未知”，把待测电路接入补偿电

路，找到平衡位置，即可从仪器上直接读出待测电路两点间的电压。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题：

１、６Ｖ、２Ω的灯泡用１２Ｖ的直流电源，后者的内阻为Ω,问应串联多大

的电阻

UU?0 Ｒ＝Ω

R0?R?rR0解：设串联电阻为Ｒ。由全电路的欧姆定律 I?

２、四个电阻均为Ω的灯泡，工作电压为１２Ｖ，把它们并联起来接到一个

电动势为１２Ｖ，内阻为Ω的电源上，问：（１）开一盏灯时，此灯两端的电压多大（２）四盏灯全开时，灯两端的电压多大解：（１）开一盏灯时，I? （２）开四盏灯时，I???R?r?1.93A U?IR?11.6V

?R?r4?7.06A U??I?R?10.6V 电压下降

３、附图中伏特计的内阻为３００Ω，在开关Ｋ未合上时，其电压读数为,开300Ω Ｖ关合上时其读数为,求电源的电动势和内阻。

Ｋ解：Ｋ断开时 I1?Ｋ闭合时 I2??RV?r U1?I1RV? U2?I2?RV?r100Ω RV

ε，r

?RVR?rRV?RRVRRVR??

RV?R(RV?R)r?RVR解得 ??RVU1U2R???U1??1.5V r?V?2.07? (RV?R)U2?RU1U1４、为使一圆柱形长导体棒的电阻不随温度变化，可将两相同截面的碳棒和

铁棒串联起来。问两棒长度之比应为若干

解：若使整个导体电阻不随温度变化，应有 ?0Fe?Fet??0?ct

５、变阻器可用作分压器，用法如附图所示。Ｕ是输入电压，Ｒ是变阻器的

全电阻，r是负载电阻，c是Ｒ上的滑动接头。滑动c，可以在负载上得到从０到Ｕ之间的任何电压Ｕr。设Ｒ的长度ab=l，Ｒ上各处单位长度的电阻都相同，a、c之间的长度ac=x，求加到r上的电压Ｕr与x的关系。用方格纸画出当r=和r=10R时的Ｕr—x曲线。

解：设总电流为Ｉ，流过r 的电流为i，则由欧姆定律得整理得 Ur?比。

x0.1Ul当r=时， U?

rxx(1?)?0.1llx10Ul当r=1０R时， U?

rxx(1?)?10lllrUxR(l?x)x?l2rb c R a 只有当r很大时，Ｕr才近似与x成正 r Ｕ Ur/U0

r=1０R r= ０ x/l

６、在附图所示的电路中，求：

（１）ＲＣＤ；（２）ＲＢＣ；（３）ＲＡＢ。解：

（１）1?1?1?1 ＲＣＤ=Ω

RCD100153011??RBC51100(10?20)10?100?30Ｃ 10Ω Ａ 20Ω Ｄ

ＲＡB=１０Ω

5Ω 100Ω Ｂ

10Ω （２）ＲBＣ=Ω

（３）100Ω电阻被短路，1?RAB11 ?10?520?10７、判断一下，在附图中所示的各电路中哪些可以化为串、并联电路的组

合，哪些不能。如果可以，就利用串、并联公式写出它们总的等效电阻。

R2 R5 RR3

R1 R3 R2 R4 R2 R5 R4 R1 R2 R4 R1 RR3 R4 R3 R1 R2 R5 R1 R2 R R5 R4 R3 R4 R4 RR3 R2 R 3R5 R4 a可以 R?R1?R2?R3?R4?R5?

R3?R4?R5

b可以 R??R1?R2??R3?R4?

R1?R2?R3?R4c可以 R?R4?R1R2?R2R3?R1R3?R1R2?R2R3?R1R3?R2R4?R3R4R3??R2?R4R5/?R4?R5??

e可以 R?R1?R3?R2?R4R5/?R4?R5?? g可以 R?R4?R1R2?R2R3?R1R3?R1R2?R2R3?R1R3?R2R4?R3R4

其余d、f、h不能化为电阻的简单串并联。

８、无轨电车速度的调节，是依靠在直流电动机的回路中串入不同数值的电

阻，从而改变通过电动机的电流，使电动机的转速发生变化。例如，可以在回路中串接四个电阻Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３和Ｒ４，再利用一些开关Ｋ１、Ｋ

K4 ２、Ｋ３、Ｋ４和Ｋ５，使电阻分别串联或并联，以改变总电阻的数值。如附K 2R1 R2 R3 R4 图中所示。设Ｒ１＝Ｒ２＝Ｒ３＝Ｒ４＝Ω,求下列四种情况下的等效电阻Ｒab: （１）Ｋ１、Ｋ５合上，Ｋ２、Ｋ３、Ｋ４断开；（２）Ｋ２、Ｋ３、Ｋ５合上，Ｋ１、Ｋ４断开；（３）Ｋ１、Ｋ３、Ｋ４合上，Ｋ２、Ｋ５断开；（４）Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３、Ｋ４合上，Ｋ５断开。

111??)?1?1.3? R2R3R4K3 K1 解：（1）R?R1?R2?R3?3.0? （2）R?R1?( （3）R?R1R41111?0.5? （4）R?(???)?1?0.25?

R1?R4R1R2R3R4９、如附图所示的电路中，a、b两端电压为，试求：

（１）通过每个电阻的电流强度；（２）每个电阻两端的电压。

解：（１）I1?I5?1.5mA I2?I10?0.75mA

（２）U1?1.5V U5?7.5V U2?15V

U10?7.5V

Ｒ１Ｒ３如图所示，电路中R1=10kΩ，R２=Ω, R3=

Ｕ

Ｒ２Ｒ４１０、

２.0kΩ, R3=Ω，U=6V，求通过Ｒ３的电流。解： R1?R3，中间联线无电流通过I2?R2R4U?2.0mA R3?R4１１、有两个电阻，并联时总电阻为Ω,串联时总电阻是１０Ω。问这两

个电阻的阻值是多少解：Ｒ１＝６Ω Ｒ２＝４Ω １２、

有两个电阻R1=Ω，R２=Ω,

（１）它们串联接入电路中时，测得R1两端的电压为Ｕ1=50V，求R２两端

的电压Ｕ２；

（２）当它们并联接入电路中时，测得通过R１的电流强度Ｉ１＝Ａ,求通过

R２的电流Ｉ２。

RR2U1?60V （２）I2?1I1?5.0A R1R2解：（１）U2?a c e g 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω １３、

电阻的分布如附图所示。

6Ω 6Ω 4Ω （１）求Ｒab;

b d f h 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω

（２）若４Ω电阻中的电流为１Ａ，求Ｕab. 解：（１）Ｒab＝８Ω

（２）Uef?12V Ief6?2A Ice?3A Ucd?36V Icd6?6A Iac?9A Ｕab=72V

１４、在附图所示的四个电路中，求出所标文字的数值：

（１）求Ｉ，Ｉ１；（２）求Ｉ、Ｕ；（３）求Ｒ；（４）求Ｉ１、

R Ｉ２、Ｉ３

4Ω

I1 1k （１） 10V U （２）（３） I2 1mA I3 I （４）I 5k I 1 5k 1k 解：（１）I1?0.2mA I?I1?1mA?1.2mA （２）U?20V I?2mA （３）Ｒ＝６Ω

（４）Ｒ＝６k/11 U=6V/11 I1?0.54mA I2?0.27mA I3?0.18mA １５、

附图所示的电路中，已知Ｕ=, R1=R2. 试求下列情况下a 、b两

3Ω 12V

点的电压。

（１）Ｒ３＝Ｒ４；（２）Ｒ３＝２Ｒ４；（３）Ｒ３＝Ｒ４／２

R１解：（１）Ｕab＝０

（２）Ｕa=U/2 Ub=U/3 Uab=U/6= （３）Ｕa=U/2 Ub=2U/3 Uab=-U/6= １６、

附图所示电路中，当开关Ｋ断开时，通过R1、R2的电流各为多少

Ｒ２Ｋ６（２）Ｋ接通时，I?2A I1?I?2A

+ - U R３ b Ｒ4 aaＲ２

当开关Ｋ接通时，通过R1、R2的电流又各为多少解：（１）Ｋ断开时，I?I1?I2?1.5A

Ｒ１Ｒ３

１７、附图所示电路，在开关Ｋ断开和接通两种情况下，a 、b两点之间

a 5Ω 5Ω K 5Ω c d 的等效电阻Ｒab和c、d之间电压Ｕcd各为多少

解：（１）Ｋ断开时，Rab?R1?R2?10? Ucd?U/2?5V b （２）Ｋ接通时，Rab?5? Ucd?0 １８、

在附图所示的电路中，Ｕ＝12V, R1=30kΩ，R２=Ω, R3=100kΩ,

R3=10kΩ，R5=100kΩ, R6=Ω, R7=Ω。求电压Uab、Uac和Uad 解： Uab??UR??R1U??10V

1R1?R2１９、

有一适用于电压为１１０Ｖ的电烙铁，允许通过的电流为，今准Ｒ５Ｒ６Ｒ１Ｒ３ b 备接入电压为２２０Ｖ的电路中，问应串联多大的电阻 a d ＵＲ２Ｒ４ c Ｒ７ Ux解：Rx??157?

U1/R1２０、一简单串联电路中的电流为５Ａ。当把另外一个２Ω的电阻插入

时，电流减小为４Ａ。问原来电路中的电阻是多少解：Ｒ＝８Ω ２１、

在附图中，ε１=24Ｖ，r1=Ω,ε2=Ｖ，r2=Ω,R1=Ω，R２=Ω, R3=Ω

（１）求电路中的电流；（２）a、b、c和d各点的电位；（３）两个电池的路端电压；（４）若把Ｖ的电池反转相接，重复以上计算。

?1??2R1?R2?R3?r1?r2ε１r1 R3 ε2r2 a b c d ?2A

解：（1）I?R1 R２（2）Ua =4V Ub =-16V Uc =-10V Ud=-2V

（3）U1 =20V U2=8V （4）I??1??2R1?R2?R3?r1?r2?3.3A Ua = Ub = Uc = Ud=

U1 = U2= ２２、

在附图的电路中已知ε１=Ｖ，ε2=ε3=Ｖ,R1=R２= R3=Ω,电源的内阻ε３ a 都可忽略不计。求：（１）Uab; (２)Uac; (３)Ubc.

Ｒ３ b ε１Ｒ２解：（１）IR??1??2?1.0A Ｕab＝－３０Ｖ

2R1?R2Ｒ１ ε２ 12V,1Ω 2Ω 10V,1Ω 2Ω

（２）Ｕac＝－１２Ｖ（３）Ｕbc＝－９Ｖ２３、

一电路如附图所示，求：（１）Uab;

（２）Ucd. 解： I??1??2R1?R2?R3?R4?r1?r2?0.4A

2Ω 3Ω 2Ω 8V,1Ω （１）Uab?I?R2?R3???2?10V （２）Ucd?I?R2?R3???2??1?0V ２４、

一个电阻为Rg=25Ω的电流计，当其指针正好到头时，通过的电流

Ig=100mA。问：

（１）把它改装成最多能测到的安培计时，应并联多大的电阻（２）把它改装成最多能测到０Ｖ的伏特计时，应串联多大的电阻解：（１）应并联电阻RS?IgRg?0.025?

I?IgIg （２）应串联电阻RS?U?Ug?975?

２５、闭路抽头式多量程安培计的电路如图所示，设各接头分别与公共

端组成的安培计的量程为Ｉ１、Ｉ２、Ｉ３。它们之中哪个量程最大哪个最小试证明，Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３的数值可以用下式计算：

R1?R2?R3?IgI3?， R1?R2?IgI2?，R1?IgI1Ｇ ?。

R1 R2 R3 其中??R1?R2?R3?Rg.Rg为表头内阻，Ig是满度电流。各档的满度电压是否相同解：各档量程比较 I1>I2>I3

满度时Ｕ=ＩgRg相同，电压Ｕ３=ＩgRg,Ｕ２=Ｉg（Rg＋Ｒ３）,Ｕ１=Ｉg（Rg＋R2+Ｒ3）２６、

ＭＦ—１５型万用电表的电流档为闭路抽头

G Ｇ R1 R2 R3 10mA 100mA 公共端

I1 I2 I3

式。如附图所示表头的内阻Ｒg=2333Ω,满度电流Ｉg=150μA，将其改装成量程是500μA、10mA、100mA的

500μA

多量程安培计。试计算出Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３的阻值，并标出三个接头的量程。

解：利用上题结果

R1?R2?R3?IgI3?，R1?R2?IgI2?，R1?IgI1?，??R1?R2?R3?Rg

解得

Ig?R???5.00??1I1?? Ig?III1?I2?gg???1?R?R?(?)?I?45.0???I?I?g?2II?IIg?3g?2112??IgIgI2?I3?R?(?)?Ig??950??3?I3I2I2I3?２７、多量程安培计为闭路抽头式，表头的满度电流Ｉg＝ ,内阻Ｒg=100Ω,

改装为安培计量程为、１０mA和１００mA .计算出其中的电阻，画出线路图，并指明各接头的量程。

R1 R2 R3 10mA 100mA 2mA

解：与上题同理。电路图如图所示。２８、

多量程伏特计电路如图所示。试证明：各档的内阻与量程的关系都

是：内阻=量程／Ｉg。例如对于量程为Ｕ１、Ｕ２、Ｕ３各档的内阻分别为：

Rg?Rm1，Rg?Rm1?Rm2，Rg?Rm1?Rm2?Rm3

Rm1 Rm2 Rm3 则Rg?Rm1?U1/Ig，

Rg?Rm1?Rm2?U2/Ig，

公共端 U1 U2 U3 Ｇ（由此可见，只要已知1/Ig，就可算出所需要的各个扩程电阻。）

解：U1?Ig(Rg?Rm1)

U2?Ig(Rg?Rm1?Rm2) ——→各档均有内阻=量程／Ｉg。

２９、ＭＦ－１５型万用电表的电压档如附图所示，表头满度电流Ｉg=，内

阻Ｒg=700Ω,改装为多量程伏特计的量程分别为Ｕ１=10Ｖ，Ｕ２=50Ｖ，Ｕ３=250Ｖ。求各档的降压电阻Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３。若再增加两个量程Ｕ４=500Ｖ，Ｕ５=1000Ｖ，又该如何

解：Rm1?U1/Ig?Rg?19.3k?

Rm1 Rm2 Rm3 Ｇ U U U3

３０、

一伏特计共有四个接头如图所示，量程Ｕ１=Ｖ，Ｕ２=15Ｖ，Ｕ３=150UUU3 Ｖ。电流计的满度电流Ｉg=，内阻为100Ω.问：

R1 R2 R3 （１）该伏特计的灵敏度（即每伏欧姆数）多大

（２）当用不同接头时，伏特计的降压电阻Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３各为多大

Ｇ解：（１）１／Ｉg＝３８３Ω／Ｖ

（２）Ｒ１＝９００Ω，Ｒ２＝４０００Ω，Ｒ３＝４５００Ω

３１、一个量程为１５０Ｖ的伏特计，它的内阻为２０kΩ.当它与一个高电

阻Ｒ串联后接到１１０伏电路上时，它的读数为.求Ｒ。解：Ｒ＝４２０ＫΩ，３２、

用伏安法测电阻Ｒ，由Ｕ／Ｉ＝Ｒ′计算的阻值是近似值。证明：当

UA Ux 已知伏特计的内阻ＲＶ，安培计的内阻ＲＡ时，对于安培计内接，电阻的精确值Ａ 111Ｒ??为Ｒx＝Ｒ′－ＲＡ；对于安培计外接，电阻的精确值为。 ?RxRRVＶ解：（１）当ＲＡ<

?? IARA?IARx?IAR?U Rx?R?RA

（２）当R<

Ix IV ＲＶ甲乙两站相距５０Ｋm，其间有两条相同的电话线，有一条因在某地Ａ触地而发生故障。甲站的检修人员用附图所示的办法找出触地到甲站的距离x，让乙站把两条电话线短路，调节r，使通过检流计Ｇ的电流为０。已知电话50kＲ甲站 m G 乙线的电阻为Ω/Km,测得r=360Ω.求x. Ｒ r x 解：通过检流计的电流为零时，Ａ、Ｂ两点等电位。

由电桥平衡条件得 (r?Rix)I??50?(50?x)?RiI x=20km ３４、

为了找出电缆在某处由于损坏而通地的地方，也可以用附图所示的装

置。ＡＢ是一条长为100cm的均匀电阻线，接触点Ｓ可在它上面滑动。已知电

ＡＳ x Ｂ

G Ｋ

缆长7.8km。设当Ｓ滑到SB=41cm时，通过电流计Ｇ的电流为零。求电缆损坏处到Ｂ的距离x。

解：通过检流计的电流为零，电桥平衡。 SB(2?7.8?x)?(100?SB)x?59x x=

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§ 复杂电路

１、考虑一个具体的电路，例如电桥电路，验算n

个节点列出的基尔霍夫第一方程组中只有n-1个

Ｉ１是独立的。

答：四个节点，根据基尔霍夫第一方程可列出四个方程

?I?I1?I2?0３ＧＩ５Ｉ４Ｉ４Ｉ２

１Ｉ I?I2?I4?0?I1?I3?I5?0I4?I5?I2?0任取其中的三个方程，可

得到另外一个方程。即只

２、已知复杂电路中一段电路的几种情况如图所示，分别写出这段电路的ＵＡ

Ｂ

＝ＵＡ－ＵＢ

A A ＲＩ εr ＲＩ εr Ｒ1 Ｉ1 εr I2 R2 B B B 解：（１）UAB???I?R?r? （２）UAB???I?R?r?

（３）UAB????I1?I2?R?I1?R1?r?

３、考虑一个具体的电路，例如电桥电路，验算对m个独立回路列出的基尔霍夫第二方程是相对独立的，而沿其他回路列出的方程可以由这m个方程

Ｒ１ＣＲ组合得到。

ＩＩＩ１５ＧＲ３Ｒ４ＡＢ

ＤＩＩ４答：根据基尔霍夫第二方程可得

ＩＡＣＤＡ I1R1?I5R5?I2R2?0 ε r ＣＢＤＣ I3R3?I4R4?I5R5?0 ＡＤＢＡ I2R2?I4R4?Ir???0

三个方程彼此独立，其中任何一个方程不能由其余两个方程组合而得到。但另一闭合回路ＡＣＢεａ不是独立回路，其回路方程可由前三式相加得到。

４、理想的电压源内阻是多大理想的电流源内阻是多大理想电压源和理想电

流源可以等效吗

答：理想电压源是外电路所提供的电压为一定值，因此其内阻应为零。理想电

流源为外电路所提供的电流为一恒定值，因此理论上理想电流源的内阻为无穷大。实际上只要把一个电池串联一个很大的电阻，就近似组成了一个理想电流源。因为在电流源的Ｉ０等于电压源的短路电流，电压源的内阻等于电流源的内阻时两电源等效，这在理想电流源和理想电压源的情况下是不可能的，故理想电压源和理想电流源不可能等效。

５、叠加定理可以理解得更广泛一些，包括电路中有电流源情形，即电路中

有多个电源时，电路中任一支路的电流等于各个电源单独存在、而其他电源为零值时所产生的电流之和。因此应用叠加定理时，对于“其他电源为零

值”的确切理解是重要的。在等效电源定理中要计算除源电路的电阻。“除源”也就是使电源为零值。零值电压源的端点间电压为零，这相当于短路情况。零值电流源相当于什么情况

答：零值电流源即对外电路提供的电流为零。相当于电路断路。

６、基尔霍夫方程组对于电流是线性的。叠加定理正是由方程组的线性导出

的。考虑在例题１中若ε１增为２倍，ε２增为３倍，电流Ｉ３为多少答：在例题１中，ε１增为２倍，ε２增为３倍时，由叠加原理可得习题：

１、一电路如图所示，已知ε１=Ｖ，ε2=Ｖ,R1=50Ω，R２=80Ω, R=10Ω,电池的内阻都可忽略不计。求通过Ｒ的电流。

ε１

解：设各支路电流如图所示。根据基尔霍夫方程

Ｉ１ R1R Ｉ２Ｉ３ ε２Ｒ I1?I2?I3?0 R1I1?RI3??1 解得Ｉ３＝32mA

R2I2?RI3??2２、一电路如图所示，已知ε１=Ｖ，ε2=Ｖ, ε3=Ｖ,R1=Ω，R２=Ω, R３=Ω,电池的内阻都已分别算在R1、R２、R３内。求Ｕab.

ε1