6．（2019?徐州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝6，AE＝3，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2． ∵DA平分∠BDE， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴OA∥DE． ∴∠OAE＝∠ADE， ∵AE⊥CD， ∴∠ADE＝90°． ∴∠OAE＝90°， 即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°． ∵∠5＝90°， ∴∠BAD＝∠5． 又∵∠2＝∠3， ∴△BAD∽△AED． ∴
＝
，
∵BA＝6，AE＝3， ∴BD＝2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理， 得BD＝4
．
．
∴⊙O半径为2
7．（2019?香洲区模拟）如图，△ABC内接于半径为
的⊙O，AC为直径，AB＝
，弦BD与AC交于点E，点P为BD延长线上一点，且∠PAD＝∠ABD，过点A作AF⊥BD于点F，连接OF．
（1）求证：AP是⊙O的切线； （2）求证：∠AOF＝∠PAD； （3）若tan∠PAD＝，求OF的长．
（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，
即∠ABD+∠CBD＝90°， ∵
＝
，
∴∠CAD＝∠CBD， ∵∠PAD＝∠ABD，
∴∠PAD+∠CAD＝∠ABD+∠CBD＝90°， 即PA⊥AC， ∵AC是⊙O的直径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AB＝∴sinC＝
＝
，
，AC＝
，
∴∠C＝45°， ∵
＝
，
∴∠ADB＝∠C＝45°， ∵AF⊥BD，
∴∠FAD＝∠ADB＝45°， ∴FA＝FD， 连接OD，
∵OA＝OD，OF＝OF，FA＝FD， ∴△AOF≌△DOF（SSS）， ∴∠AOF＝∠DOF， ∴∠AOD＝2∠AOF， ∵
＝
，
∴∠AOD＝2∠ABD， ∴∠AOF＝∠ABD， ∵∠ABD＝∠PAD， ∴∠AOF＝∠PAD；
（3）解：延长OF交AD于点G， ∵OA＝OD，∠AOG＝∠DOG， ∴OG⊥AD，
∵tan∠PAD＝，∠AOF＝∠PAD， ∴tan∠AOF＝
＝，
，
在Rt△AOG中，AO＝设AG＝x， ∴AG2+OG2＝AO2，
x2+（3x）2＝（）2，
解得：x＝∴AG＝
， ，OG＝
，
∵∠FAD＝45°，OG⊥AD， ∴∠AFG＝∠FAD＝45°， ∴FG＝AG＝
，
．
∴OF＝OG﹣FG＝
8．（2019?河北一模）如图1，已知点A、O在直线l上，且AO＝6，OD⊥l于O点，且OD＝6，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，AB⊥AC于A，且∠CAO＝60°． （1）若半圆E上有一点F，则AF的最大值为 6（2）向右沿直线l平移∠BAC得到∠B'A'C'； ①如图2，若A'C'截半圆E的
的长为π，求∠A'GO的度数；
；
②当半圆E与∠B'A'C'的边相切时，求平移距离．
解：（1）∵OD⊥l， ∴∠AOD＝90°，
若半圆E上有一点F，当F与D重合时，AF的值最大， 如图1所示： 最大值＝故答案为：6
；
＝
＝6
；
（2）①连接EH、EG、DH，如图2所示： 则半圆E的半径ED＝EO＝OD＝3， 设∠GEH＝n°， ∵A'C'截半圆E的∴
＝π，
的长为π，
解得：n＝60， ∴∠GEH＝60°， ∵EH＝EG，
∴△EGH是等边三角形，
∴∠EGH＝60°＝∠C'A'O＝60°． ∴EG∥l， ∵OD⊥l， ∴EG⊥OD，
∴∠DEH＝90°﹣60°＝30°， ∵ED＝EH，
∴∠D＝（180°﹣30°）＝75°，
由圆内接四边形的性质得：∠A'GO＝∠D＝75°； ②分两种情况：当半圆E与A'C'相切时，如图3所示： ∵OA'⊥OD，OD⊥l， ∴l是半圆E的切线，
∴OA'＝PA'，∠OA'E＝∠C'A'O＝30°， ∴OA'＝
OE＝3，
；
∴平移距离AA'＝AO﹣OA'＝6﹣3
当半圆E与A'B'相切时，如图4所示： 则∠PA'A＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵OA'＝PA'， ∴∠POA'＝15°， ∴∠OEA'＝∠PA'A＝15°，
2019年中考数学压轴题专项训练：圆的综合(含解析)
