3．（2019?昆明一模）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围．
（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EF∥AB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∴EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝5cm， 在Rt△CDE中，DE＝
＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE， ∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图①，点E离点D最远，此时Rt△CED的内切圆半径最大；
由①知，在Rt△CED中，ED＝4cm，CE＝5cm，CD＝3cm， 易得四边形OMDG是正方形，
设边长为rcm，则EG＝EH＝4﹣r，CM＝CH＝3﹣r， ∴4﹣r+3﹣r＝5， 解得r＝1；
当点P与点A重合时，如图②，点E离点D最近，此时Rt△CED的内切圆半径最小；
可知，在Rt△CED中，ED＝2cm，CD＝3cm， 则CE＝
＝
cm，
同理易得四边形OMDG是正方形，
设边长为rcm，则EG＝EH＝2﹣r，CM＝CH＝3﹣r， ∴2﹣r+3﹣r＝解得r＝
， ；
≤r≤1．
∴Rt△CED的内切圆半径r的取值范围为
4．（2019?西湖区一模）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C为切点，连结CO并延长交
AB于点D，交⊙O于点E，连结BE，AO．
（1）求证：AO∥BE； （2）若tan∠BEO＝
，DE＝2，求CO的长．
解：（1）证明：连结BC，
∵AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点， ∴AB＝AC，OA平分∠BAC， ∴OA⊥BC， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠CBE＝90°， ∴BE⊥BC， ∴OA∥BE；
（2）∵OA∥BE， ∴∠BEO＝∠AOC，
∵tan∠BEO＝∴tan∠AOC＝
， ，
在Rt△AOC中，设OC＝r，则AC＝∴在Rt△CEB中，EB＝∵BE∥OA， ∴△DBE∽△DAO， ∴
，
r，OA＝r，
r，
∴∴DO＝3，
，
∴OC＝OE＝DO﹣DE＝3﹣2＝1．
5．（2019?毕节市模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若CD＝15，BE＝10，tanA＝
，求⊙O的直径．
解：（1）BD是⊙O的切线． 理由如下：
连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB， ∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD， 又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°， ∴∠OBA+∠ABD＝90°， ∴OB⊥BD， ∴BD是⊙O的切线．
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，
∵DE＝DB， ∴EG＝BE＝5，
∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED， ∴∠GDE＝∠A， ∴△ACE∽△DGE， ∴tan∠EDG＝tanA＝在Rt△EDG中， ∵DG＝
＝12，
，即DG＝12，
∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2， ∵△ACE∽△DGE， ∴∴AC＝
， ?DG＝
，
．
∴⊙O的直径为2OA＝4AC＝
2019年中考数学压轴题专项训练：圆的综合(含解析)
