nn(n?1)z(z?y)n?2(x?z)?z(z?y)n?3?(x?z)21!2!
n(n?1?2)n(n?1)?2?1???z(x?z)n?1?(x?z)n(n?1)!n!若z?y,有fn(x)?(x?y)n?1[x?(n?1)y],
fn(x)?z(z?y)n?1?z(x?y)n?y(x?z)n若z?y,有fn(x)?.
z?y4 总结
本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】
1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了n??数列xn的极限、x??（x???、x???）函数f?x???的极限、x?x0（x?x0、x?x0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面
我们用
x?＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
??＊?n??x??x???x???x?x0x?x0x?x0
定义：当在给定的x?＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x?＊下的无穷小，即limf?x??0。
??x?＊例如, ?limsinx?0, ?函数sinx是当x?0时的无穷小.
x?011?0, ?函数是当x??时的无穷小. x??xx(?1)n(?1)n?lim?0, ?数列{}是当n??时的无穷小. n??nn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的x?＊下，f?x?无限增大，则称f?x?是x?＊下的无
?lim?都是无穷大量， 穷大，即limf?x???。显然，n??时，n、n2、n3、x?＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷
小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
limex?0， limex??? ，
x???x???所以ex当x???时为无穷小，当x??? 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f?x?为无穷大，
11则为无穷小；反之，如果f?x?为无穷小，且f?x??0，则为无穷大。 f?x?f?x?小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x?x0xA+?(x),其中?(x)是自变量在同一变化过
程x?x0（或x??）中的无穷小.
证：（必要性）设limf(x)=A,令?(x)=f(x)-A,则有lim?(x)=0,
x?x0x?x0?f(x)?A??(x).
（充分性）设f(x)=A+?(x),其中?(x)是当x?x0时的无穷小，则
xlimf(x)=lim(A+?(x)) ?A?lim?(x) ?A.
x0xx0x?x0【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)?A,误差为?(x).
3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
11 但n个之和为1不是无穷小. 例如,n??时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
111如：lim(?1)n?0，limxsin?0，limsinx?0
n??x?0x??xnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较
例如，当x?0时,x,x2,sinx,x2sin1观察各极限： 都是无穷小，xx2lim?0,x2比3x要快得多; x?03xsinxlim?1,sinx与x大致相同; x?0x1x2sinx?limsin1不存在.不可比. limx?0x?0xx2极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义: 设?,?是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且?10.
?(1)如果lim=0,就说?是比?高阶的无穷小,记作?=o(?);
??(2)如果lim?C(C?0),就说?与?是同阶的无穷小;
??特殊地如果lim=1,则称?与?是等价的无穷小，记作?~?;
??(3)如果limk=C(C?0,k0),就说?是?的k阶的无穷小.
?例1 证明:当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
4xtan3xtanx3证：lim?4lim()?4,故当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小. 4x?0x?0xx例2 当x?0时,求tanx?sinx关于x的阶数.
tanx?sinxtanx1?cosx1解?lim?lim(?)?,?tanx?sinx为x的三阶无穷小.
x?0x?0x3xx222．常用等价无穷小:当x?0时,
（1）sinx～x； （2）arcsinx～x； （3）tanx～x； （4）arctanx～x； （5）ln(1?x)～x； （6）ex?1～x
x2（7）1?cosx～ （8）(1?x)??1～?x （9）ax-1～lna*x
2用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
?????lim?1,?lim?0,即????o(?),于是有????o(?).
??例如sinx?x?o(x),cosx?1?3．等价无穷小替换
12x?o(x2). 2?????存在,则lim?lim. ???????????????????lim. 证：lim?lim(??)?lim?lim?lim?????????????定理：设?~??,?~??且limtan22xex?1.； （2）lim例3 （1）求lim
x?0cosx?1x?01?cosx(2x)212解: （1）当x?0时,1?cosx~x,tan2x~2x. 故原极限=lim= 8
x?012x22x21（2）原极限=lim= ?2x?02x?2tanx?sinx例4 求lim. 3x?0sin2xx?x错解: 当x?0时,tanx~x,sinx~x.原式?lim=0
x?0(2x)31正解: 当x?0时,sin2x~2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)~x3,
213x12故原极限=lim?.
x?0(2x)316【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
tan5x?cosx?1例5 求lim.
x?0sin3x1解: ?tanx?5x?o(x),sin3x?3x?o(x),1?cosx?x2?o(x2).
2o(x)1o(x2)1225??x?5x+o(x)+x+o(x)x2x?5. 2原式=lim?limx?0x?0o(x)3x+o(x)33?x2三、极限的简单计算
1. 代入法：直接将x?x0的x0代入所求极限的函数中去，若f?x0?存在，
2x5?3x4?2x?12?；若f?x0?不存在，我们也能知道属即为其极限，例如lim3x?193x?2x?4x2?9于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但
x?3x?30我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
02. 分解因式，消去零因子法
x2?9?lim?x?3??6。 例如，limx?3x?3x?33. 分子（分母）有理化法 例如，limx2?5?32x?1?5x?2?limx?2??x2?5?32x?1???2x?1?5?
5??2x?1?5??x?5?3?x2?5?32??x2?4 ?lim
x?22x?4?x?2??x?2?
?limx?22?x?2? ?2
1?0 又如，limx2?1?x?lim2x???x???x?1?x4. 化无穷大为无穷小法
173+-223x+x-7xx=3，例如，实际上就是分子分母同时除以x2lim2=limx2x-x+4x2-1+42xx2这个无穷大量。由此不难得出
?a0，n?m?ba0xm?a1xm?1???am?0lim??0，n?m x??bxn?bxn?1???b01n??，n?m??
??又如，lim1?xx?21??limx???x???1x（分子分母同除x）。 ?1，21?x?2????12n?5n?5?再如，limn（分子分母同除5n）。 ?lim??1，nnn??3?5n???3????1?5?n5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
xarctan?x?1?例如，lim（无穷小量乘以有界量）。 ?0，x??3x2?x?14x?1又如，求lim2.
x?1x?2x?3解：?lim(x2?2x?3)?0,商的法则不能用
x?1x2?2x?30??0. 又?lim(4x?1)?3?0,?limx?1x?14x?134x?1??. 由无穷小与无穷大的关系,得lim2x?1x?2x?3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限
?1?x,x?0例如，设f(x)??2,求limf(x).
x?0x?1,x?0?
泰勒公式例题
