泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限
中的应用及推广
泰勒公式及其应用
１ 引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识
定义[1] 若函数f在x0存在n阶导数,则有
f'(x0)f''(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)2?L
1!2!f(n)(x0)?(x?x0)n?o((x?x0)n)n!
（1）
这里o((x?x0)n)为佩亚诺型余项,称(1)f在点x0的泰勒公式.
f'(0)f''(0)2f(n)(0)n当x0=0时,（1）式变成f(x)?f(0)?x?x???x?o(xn),
1!2!n!称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义[2] 若函数 f在x0某邻域内为存在直至 n?1阶的连续导数,则
f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x) ,
2!n!'f(n?1)(?)(x?x0)n?1,其中?在x与x0（2）这里Rn(x)为拉格朗日余项Rn(x)?(n?1)!之间,称（2）为f在x0的泰勒公式.
f''(0)2f(n)(0)nx?...?x?Rn(x) 当x0=0时,（2）式变成f(x)?f(0)?f(0)x?2!n!'称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
x2xne?xe?1?x?????xn?1.
2!n!(n?1)!x2n?1x3x5nxsinx?x?????(?1)?o(x2n?2). 3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nxcosx?1????L?(?1)?o(x2n). 2!4!6!(2n)!n?1x2x3nxln(1?x)?x?????(?1)?o(xn?1). 23n?11?1?x?x2???xn?o(xn) 1?x(1?x)m?1?mx?m(m?1)2x??. 2!定理[3](介值定理) 设函数 f在闭区间 [a,b]上连续,且 f(a)?f(b),若?0为介于 f(a)与f(b)之间的任何实数,则至少存在一点x0?(a,b),使得
f(x0)??0.
3 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
cosx?ex?0x4?x22例 求极限lim.
x220分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和e0别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
2?分
x?x2x44解 由cosx?1???o(x),e22!4!x22(?)x22?o(x4)得 ?1??22cosx?e?x22?(111?2)x4?o(x4)??x4?O(x4), 4!2?2!12于是
?x22limxcosx?ex?0x414x?O(x4)1?lim124??. x?0x12?x-1-x-sinxe2例极限lim .
x→0sinx-xcosx0x分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和sinx, e0分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解： 由exxx33-1-x-sinx=1+x+x+x+o(x)-1-x-(x-x+o(x))
22626=
233x+x633412+o(x)=33x36+o(x),
233sinx-xcosx=x-x+o(x)-x(1-x+o(x))
62=于是
x33+o(x)
3x3x+o(-1-x-sinxx)1e62lim=3=
x→0sinx-xcosxx+o(x3)23x3例利用泰勒展开式再求极限 。 解：，
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为，从而
当时，，应为
利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
1例 当x?0时,证明sinx?x?x3.
61证明 取f(x)?sinx?x?x3,x0?0,则
6f(0)?0,f'(0)?0,f''(0)?0,f'''(x)?1?cosx,f'''(0)?0.
带入泰勒公式,其中n=3,得
f(x)?0?0?0?1?cos?x3x，其中0???1. 3!故
1当x?0时,sinx?x?x3.
6
利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则. 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
+∞例3 判断广义积分 ∫的收敛性。5（x+1+x-1-2x)dxx1+ 解： x+1+x-1-2x=（11利用泰勒公式将1+,1-展开：
xx11+1--2), xx
泰勒公式例题
