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4.2.1 直线与圆的位置关系
【教学目标】
１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
【教学重难点】
教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 【教学过程】
㈠情景导入、展示目标 问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练
探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？
教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？
学生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为
x2?y2?9
轮船航线所在直线 l 的方程为
x?2y?8?0.
教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.
让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法： 方法一：代数法
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?x2?y2?92 由直线与圆的方程，得：? 消去y，得2x?4x?7?0,
?x?2y?8?0因为△?(-4)?4?2?7??40＜0 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。 方法二：几何法
圆心（0，0）到直线x?2y?8?0的距离
2d?1?0?2?0?812?22?885??3
55所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.
探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？
让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法. ①代数法：
?Ax?By?C?0由方程组?， 222?(x?a)?(y?b)?r得mx?nx?p?0(m?0)，
22??n2?4mp
??0,则方程组有两解,直线与圆相交；??0，则方程组有一解，直线与圆相切；??0，
则方程组无解，直线与圆相离. ②几何法：
直线与圆相交 ,则d?r；直线与圆相切 ,则d?r；直线与圆相离 ,则d?r.
例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：
xy2?2?4x?6y?12?0，判断直线和圆的位
置关系.
解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.
解:(法一)
联立方程组,消y得
2x?20x?43?0
因为
2??所以直线与圆相交.
(法二)
将圆的方程化为
??20??4?2?43?216?0
22?x?2??y?3?2??5.
2可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.
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因为圆心到直线的距离d=32<5,
所以直线与圆相交.
点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法. 变式1.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：解:将圆的方程化为
2xy2?2?4x?6y?12?0的位置关系.
?x?2??y?3??2?5.
2可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=52>5, 所以直线与圆相离.
例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：
xy2?2?2x?4y?0截得的弦ＡＢ的长．
解析:可以引导学生画图分析几何性质. 解:(法一) 将圆的方程化为
?x?1???y?2??5.
22可得圆心Ｃ(1,2),半径r=5. 圆心到直线的距离
d?3?2?610?10. 2弦ＡＢ的长AB?25?(法二)
联立方程组,消y得
5?10. 2x?5x?6?0
得
则
2x?2,x112?3,
?3,
y?0,y2所以直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
AB?(法三)
联立方程组,消y得
?2?3??0?3??2?210.
x?5x?6?0
根据一元二次方程根与系数的关系,有
2x?x12?5,x1x2?6.
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直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
AB????1?k???4???xx???x1x2? ?1?3??5?4?6?221222?10点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
位置关系 相交 相切 相离
【板书设计】
一．直线与圆的位置关系 (1)相交，两个交点；
(2)相切，一个交点； (3)相离，无交点. 二.实例的解决 方法一 方法二
三.判断直线与圆位置关系的方法 四.例题 例1 变式1 例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
几何特征 有两个公共点 有且只有一公共点 没有公共点 方程特征 方程组有两个不同实根 方程组有且只有一实根 方程组无实根 几何法 d
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4.2.1 直线与圆的位置关系学案
课前预习学案
一．预习目标
回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法．
二．预习内容
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点 课内探究学案
一．学习目标
１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 二．学习过程 问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？
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疑惑内容
高中数学：4.2.1《直线与圆的位置关系》教学案(新人教版A版必修2)
