初中数学竞赛辅导资料
两种对称
甲内容提要
1. 轴对称和中心对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够
和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴
把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心
2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够和原来的图形互
相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 3. 性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形 ②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点 ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相
交，那么交点在对称轴上
4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，
正多边形，圆等；
中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等 乙例题
例1. 求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等 证明：∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN是它的对称轴，对应线段AC和BD的交点O，在对称轴MN上
∵AC⊥BD D N C ∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形， OM和ON是它们的斜边中线 O
11AB，ON＝CD 221∴MN＝（AB＋CD） A M B
2∴OM＝
∴梯形中位线与高相等
例2.
已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕EF的长
解：∵折痕EF是对称点连线AC的中垂线
连结AE，AE＝CE， A F D 设AE＝x,则BE＝8－x
O222
在R△ABE中，x=(8-x)+6
解得x=
2525，即AE＝
BCE4425215)?52＝ 44在Rt△AOE中，OE＝(EF＝2OE＝7.5
例3. 已知：△ABC中，AB＝AC,过点A的直线MN∥BC，点P是MN
上的任意点
求证：PB＋PC≥2AB 证明： 当点P在MN上与点A重合时， ,
CPB＋PC＝AB＋AC，即PB＋PC＝2AB 当P不与A重合时
， 作点C关于直线MN的对称点C ，，
则PC＝PC，AC＝AC＝AB A P NM，
∠PAC＝∠PAC＝∠ACB
，
∴∠PAC＋∠PAC＋∠BAC＝180?
，
C ∴B，A，C三点在同一直线上 B ，，
∵PB＋PC＞BC，即PB＋PC＞2AB ∴PB＋PC≥2AB
例4. 已知：平行四边形ABCD外一点P0，点P0关于点A的对称点P1，
P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，P3关于点D的对称点P4
求证：P4与P0重合 证明：（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点
P3AB∥P0P2∥CD
，
连结P0P3，取P0P3的中点D， D,DC，，
连结DC，则DC∥P0P2 P4，P0P2∴CD和CD 重合，
∴P4和P0重合 A B P1例5. 正方形ABCD的边长为a 求内接正三角形AEF的边长
解：∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的 公共对称轴， 可知△ABE≌△ADF
∴BE＝DF，CE＝CF 设等边三角形AEF边长为x ，根据勾股定理得 CE2＋CF2＝x2,CE=
22x,BE=a－x 22DFC222
x)+a在Rt△ABE中，x2=( a－2
x2+22ax－4a2=0 x由根公式舍去负根，得x=(6-2E2xa-2B) a A a答：等边△AEF的边长是(6-2)a
丙练习35
1. 下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
属中心对称而不是轴对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是轴对称又是中心对称的图形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿①线段 ②角 ③等腰三角形 ④等腰梯形 ⑤矩形 ⑥菱形 ⑦平行四边形 ⑧正三角形 ⑨正方形 ⑩圆 2. 坐标平面内，点A的坐标是（x＋a，y－b）那么
①点A关于横轴的对称点B的坐标是（ ） ②点A关于纵轴的对称点C的坐标是（ ） ③点A关于原点的对称点D的坐标是（ ）
3. 坐标平面内，点M（a,－b）与点N（－a,b）是关于＿＿＿的对称点 点P（m－3,n）与点Q（3－m,n）是关于＿＿＿的对称点 4. 已知：直线m的同一侧有两个点A和B m求作：在m上一点P，使PA＋PB为最小 B A5. 已知：等边△ABC A求作：点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形
（本题有10个解，至少作出4个点P）
C6.求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点， B两底中点，这四点在同一直线上 （用轴对称性质）
7.已知：△ABC中，BC＞AC，从点A作∠C平分线的垂线段AD，点E是AB的中点 求证：DE＝
1（BC－AC） （1991年德化县初中数学竞赛题） 28.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是角平分线，BC＝AB＋AD
求：∠C的度数 （90年泉州市双基赛题）
9.已知：正方形ABCD中，AB＝12，P在BC上，且BP＝5，把正方形折叠
使点A和点P重合， 求：折痕EF的长
10 .平行四边形ABCD的周长是18cm,∠A和∠B的平分线相交于M，点
O是对称中心，OM＝1cm，求各边长
11. △ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，E是BC的中点，EF⊥AD
和AB的延长线交于点F 求证BD＝2BF
（创建轴对称图形，过点C作CG∥BC交AB延长线于G）
12. 正方形ABCD的边长为a,形内一点P，P到AB两端及边BC的距离都
相等，求这个距离。
13. 求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线
的四边形是平行四边形 （1988年全国初中联赛题）
提示：用反证法，作△ABD关于点O（对角线交点）的对称三角形 14矩形ABCD中，边AB＝3，对角线AC=2，在矩形内⊙O1和BC、AC分别切于点E，F，⊙O2与AD，AC分别切于M，N ① 求：∠ACB与∠O2AN的度数
② 如果折叠 矩形后(折痕为AC)，点O2落在AB边上的点K处：
⑴在图上画出点K确切位置，并说明理由；
⑵设⊙O1，⊙O2的半径都等于R，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与R的取值范围。 (1996年泉州市中考题)
15.已知：AD是△ABC的外角平分线，点这P在射线AD上 求证：PB+PC≥AB+AC
16.已知：坐标平面内，点A关于横轴的对称点为B，点A关于原点的对称
点为C 求证： 点B和点C是关于纵轴的对称点
17.已知：AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，BM，BN三等分∠ABC
并和AD顺次交于M，N，连结并延长CN交AB于E，
求证：EM∥BN
练习35
1. 2. 3. 4. 5.
②③④⑧；⑦；①⑤⑥⑨⑩
①（x+a,-y+b）②（-x-a,y-b）③（-x-a,-y+b） 原点；纵轴。
作点A关于直线m 的对称点
作AB和BC的中垂线，其交点P1；以A为圆心，AC为半径作弧交BC的中垂线于P2，P3；以C为圆心，CA为半径作弧交BC的中垂线于P4，其余的6个点可用类似方法作出
6. 等腰梯形的对称轴是底边的中垂线，对应线段的交点在对称轴上 7. 延长AD交BC于F，DE是△ABF的中位线
8. 延长BA到E使AE＝AD，则△EBD和△CBD关于BD对称 9. EF是AP中垂线，作EG⊥CD于G，可证明△EFG≌△APB 10. 延长AM和BC相交于N，则BN＝AB…… 11. 以AD为轴作△ADC的对称△ADG 12.
5a 8?13. △ABD绕点O旋转180，点A落在射线OC上的某点A，设点A
不是点C，则∠BAD大于或小于∠BCD…… 14. ①60，30②⑵ 0＜R＜
??，
，，
1（3－1），3－1＜d <2 215. 以AD为轴作点C的对称点C1 16. （略）
17. ∵AD是△ABC的对称轴，∴CM，CN也三等分∠ACB，点N是△AEC
的内心……
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