第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答2
六、参考解答：
D?s ll2．?
d1．
附1、2两问的参考解法：
1．求S?经双缝产生的干涉图像的零级亮纹P0?的位置
?，它也就是光源S?与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即 设P0?点的坐标为y0
似，因D??d， 则
??0?y0? P0?P0??y?y0????由双缝到P0?点的光程差?1?S2P0?S1P0，从S1作S2P0P0与三角形S1HS2相0的垂线交于H点，三角形OP?1?dd???y y0DDy （附1）
（附2）
P0? G S ?s S? l ? 2 S1 ? y0z O d H ?S2 1 D P0 图1 从S2作S?S1的垂线交于G，S?到双缝的光程差
?2?S?S2?S?S1
?d，则 三角形SOS?与三角形S1GS2相似，因l?
d?2?S?S2?S?G?GS1??GS1???s
l??（附3）
对满足零光程差条件的P0?而言， 得
dd?s?S?S2?S2P???????SS?SP??????y??0 0?12??110?Dl?y?D??s lD? d（附4）
2．在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为
?y?（附5）
?s值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源．不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距?y均如（5）
式所示．宽度为w的扩展光源是由一系列?s值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成．因此扩展光源
1
在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成．当扩展光源宽度为w时，对于光源最边缘点有
代入（4）式 若
?s?w
（附6）
?y?Dlw （附7）
?y??y
（附8）
则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距．由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨．由（5）式和（7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度
3． 解法一
如图2所示，aa?是由扩展光源上端边缘发出的平行光，bb?是由扩展光源下端边缘发出的平行光．设ab光线交于M1点，a?b?光线交于M2点．aa?光束中的光线a经过M1M3S1P到达观察屏上P点；光线a?经过M2M4S2P到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹．同理，平行光束bb?在观察屏上产生另一套干涉条纹．从扩展光源不同部位发出的、倾角在
0和?之间不同角度入射的平行光束，经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹．这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像．根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光aa?与bb?分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度．
由对称性考虑，平行光束aa?中两条光线a和a?在观察屏上P0的光程差为0，即平行光aa?产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在P0处．现讨论以倾角?斜入射的平行光束bb?通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差．光束bb?中的光线b入射M1的光线经M3反射到达S1，光线b从M1点算起，所经光程为光线b?入射M2的光线经M4反射到达S2，光线b?从M2点算起，所经光程为M2M4?M4S2．由M1M3?M3S1；对称性可得
h w?l? da b（附9）
M1 H 双孔屏 ? 观察屏 S1 d S2 yP
M3M4 P0a? b?? M2图2 M1M3?M3S1?M2M4?M4S2
（1）
也就是说从M1和M2算起，光线b和b?到达S1与S2的光程是相等的，但是光线b和b?在到达M1和M2时，二者的相位却不同．由M2作斜入射光线bM1的垂线交H点，M2与H相位相等，因此，斜入射的两条平行光线b和b?到达S1 和S2时的相位差是光程差HM1引起的
???M2M4S2???HM1M3S1???HM1??h? ?12
（2）
从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标原点取在P0上）的P点上引起的光程差
???1??h?????1dy D（3）
其零级亮纹所在位置P0?对应的光程差??0，故P0?的坐标
??h??y0D dD d（4）
这也就是平行光aa?与bb?产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离
?y?h??（5）
因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为
?y?D? （6） d当二者错开一个条纹间隔时，即?y??y，代入（6）式（星光波长采用?），得
??
?h
（7）
远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径?的大小．
注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径??1.22 解法二
?h．
?以及光线a在M1、M3的反如图3所示，对M1、M3而言，找出S1对M3的中间像S1??和对M1所成的像S1射点F和G．由物像的对称性可知GS1?GS1??，FS1??FS1??，故
FS1??FG?GS1
即从光线a上一点到S1?和到S1的光程相等．同理可证，从光线b上一点到S1?和到S1的光程相等；对M2、M4
?和到S2的光程相等；从光线b?上一点到S2?和到S2的光程相等． （未画出）而言，从光线a?上一点到S2
3
等．因a、a?垂直双孔屏，故
（见图4），
说明光线b?超前于光线b．
通过双孔S1、S2后光线b、b?射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于P0处，因为二者到达双孔前光线b?已超前了光线b，如图5所示，光线b?经过S2孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹．该点所对应的b?经过S2孔后多走的光程
图5
图3
a b ?F M1 ?bS1??lbH?S1?M3 G h S1 S1??图4
?b??S2?处的光程相因此，光线a 到S1处与光线a?到S2处引起的光程差?la与没有反射镜M1、M2时两光线到S1?、S2?la?0 ?la??0
（1） （2）
通过双孔S1、S2后，光线a、a?在P0的光程差
?H?处求b、?作bS1?的垂线S2b?两光线到达S1、S2处的光程差?lb．平行光束bb?斜入射时，可从S1?、S2由S2?lb?HS1??hsin??h?
（3）
P0?
b S1 d ? y0? ? ? S2 ?lbb? a a? P0
??S2P???lb0?S1P0?dsin??d?
（4）
?可求得平行光束bb?经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置P0?．由（3）式和（4）式，得 从?lb??lb 4
???
hd（5）
P0?的位置坐标
??Dtan??D? y0（6）
?之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是S1?、S2即各处强度完全相等时，记下此时h的值.这时相干光bb?在屏幕上零级亮纹位置P0?与P0的距离
??P0P0?y0?0??y?D?
（7）
?当P0P0等于条纹间隔?y，即
代入（7）式得
由（5）、（9）两式，得
解法三
P0P0??D? d（8）
???d （9）
??
?h
（10）
根据第2问的结果，为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为w?角为
l?，从而扩展光源对双缝中心的张dw?? （1） ld如图3所示，对M1、M3而言，找出S1对M3的中间像S1??和对M1所成的像S1'以及光线a在M1、M3的反
???射点F和G．由物像的对称性可知GS1?GS1??，FS1??FS1??，故
FS1??FG?GS1
即从光线a上一点到S1?和到S1的光程相等．同理可证，从光线b上一点到S1?和到S1的光程相等；对M2、M4
?和到S2的光程相等；从光线b?上一点到S2?和到S2的光程相等．从分（未画出）而言，从光线a?上一点到S2?为S2经M4、M2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是析可知，S1?为S1经M3、M1反射的等效像点，S2?的等效杨氏双缝干涉，其缝距为 经双孔S1?、S2?S2??h S1即各处强度完全相等，这时只需将测得的h直接替换（1）式中的d，可得计算星体角直径的公式
（2）
?之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是S1?、S2??
得到与前两种解法相同的结果．
?h
（3）
5
第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答2
