第六篇 不等式
第1讲 不等关系与不等式
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·南昌模拟)设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3
解析 由不等式性质知当x≥1且y≥2时，x＋y≥3；而当x＝2，y＝2时满足x＋y≥3，但不满足x≥1且y≥2，故“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的充分而不必要条件． 答案 A
2．(2014·延安模拟)已知a>b，则下列不等式成立的是 A．a2－b2≥0 C．|a|>|b|
B．ac>bc D．2a>2b
( )．
解析 A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D． 答案 D
3．(2014·河南三市三模)已知0＜a＜1，x＝loga2＋loga loga 21－loga 3，则 A．x＞y＞z C．z＞x＞y
1
3，y＝2loga5，z＝
( )．
B．z＞y＞x D．y＞x＞z
解析 由题意得x＝loga 6，y＝loga 5，z＝loga 7，而0＜a＜1，∴函数y＝loga x在(0，＋∞)上单调递减，∴y＞x＞z. 答案 D
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是 A．a＞ab＞ab2 C．ab＞a＞ab2
B．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a
( )．
解析 由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1，又a＜0， ∴ab＞ab2＞a. 答案 D
5．(2014·宝鸡模拟)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，11
能推出a ( )． B．2个 D．4个 11 解析 运用倒数性质，由a>b，ab>0可得a 6． (2013·扬州期末)若a1＜a2，b1＜b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________． 解析 作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，∵a1＜a2，b1＜b2，∴(a1－a2)(b1－b2)＞0，即a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1. 答案 a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1 ππ 7．若角α，β满足－2＜α＜β＜2，则2α－β的取值范围是________． ππ 解析 ∵－2＜α＜β＜2， ππ ∴－π＜2α＜π，－2＜－β＜2， 3π3ππ∴－2＜2α－β＜2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜2， 3ππ∴－2＜2α－β＜2. ?3ππ? 答案 ?－2，2? ?? 3?? 8．(2014·上饶模拟)现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2?a－b－2?；③7 ??＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个． 解析 因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(7＋10)2－(3＋14)2＝270－242>0，且7＋10>0，3＋14>0，所以7＋10>3＋14，即③恒成立． 答案 2 三、解答题 9．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x2－x＋1与2x2＋x－1； (2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba. 解 (1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1. aabba－bb－aa－b?1?a－b?a?a－b．(2)abba＝ab＝a?b?＝?b? ???? a?a?a－b 当a>b，即a－b>0，b>1时，?b?>1，∴aabb>abba. ??a?a?当a ??∴aabb>abba. ∴当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba. 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先 到教室？ 解 设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1＜v2. sss?v1＋v2? 甲所用的时间t甲＝2v＋2v＝2vv， 12122s 乙所用的时间t乙＝， v1＋v2 t甲s?v1＋v2?v1＋v2?v1＋v2?2∴＝2vv×2s＝4vv t乙1212 2v21＋v2＋2v1v24v1v2＝＞4vv＝1. 4v1v212 ∵t甲＞0，t乙＞0，∴t甲＞t乙，即乙先到教室． 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是 A．a＞b＋1 C．a2＞b2 B．a＞b－1 D．a3＞b3 ( )． 解析 由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1. 答案 A 2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是 A．c≥b＞a C．c＞b＞a ( )． B．a＞c≥b D．a＞c＞b 解析 c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，将已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2， 1?3? ∵1＋a2－a＝?a－2?2＋4＞0，∴1＋a2＞a， ??∴b＝1＋a2＞a，∴c≥b＞a. 答案 A 二、填空题 3．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，则f(3)的取值范围是________． ??a－c＝f?1?， 解析 由题意，得? ??4a－c＝f?2?，1 a＝??3[f?2?－f?1?]，解得?41 c＝－f?1?＋??33f?2?. 58 所以f(3)＝9a－c＝－3f(1)＋3f(2)． 5520 因为－4≤f(1)≤－1，所以3≤－3f(1)≤3， 8840 因为－1≤f(2)≤5，所以－3≤3f(2)≤3. 两式相加，得－1≤f(3)≤20， 故f(3)的取值范围是[－1,20]． 答案 [－1,20] 三、解答题 4．设0 loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，∴ |loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)， ∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)<0， 从而－loga(1－x2)>0，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|. 当0
创新设计高考数学北师大一轮训练：第篇 第讲 不等关系与不等式
