【答案】3??21 【解析】
??的各行元素之和为3，即
??11+??12+??13=3??11??12??1313{??21+??22+??23=3?[??21??22??23][1]=[3] ??31+??32+??33=3??31??32??331311??[1]=3[1]
11所以??=3是??的一个特征值。
再由二次型????????的秩为1???(??)=1? ??=0是??的2重特征值。
因此正交变换下标准形为3??21 综上所述，本题正确答案是3??21。
【考点】线性代数—二次型—二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形
(14)设二维随机变量(??,??)服从正态分布??(??,??2;??,??2;0)，则
??(????2)= 。
【答案】????2+??3。 【解析】
(??,??)服从正态分布??(??,??2;??,??2;0) 所以??与??相互独立，且
????=????=??, ????=????=??2
??(????2)=?????E??2= ??[????+(????)2]=??(??2+??2)= ????2+??3
综上所述，本题正确答案是????2+??3。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)求极限??????√1+2????????????1??→0??????(1+??)
.
【解析】 【方法一】
??????√1+2????????????1??→0??????(1+??)
=??????√1+2????????????1??→0??2 (无穷小代换)
???????? =??????√1+2?????????1??→02?? ( =
1?????????√1+2??????2??????????→0?? (零常数的因子极限先求) ???????? =1??????????2??????√1+2??????????→01 (则)
=?12 【方法二】
??????√1+2????????????1√1+2????????????1??→0??????(1+??)
=????????→0??2 (无穷小代换) =??????1+2?????????(??+1)2??→02??2 (化)
等价
洛必达法则)
极限为非洛必达法等价
分子有理
=
12???????????2?2????????2??→02??2=?+
12????????→0??????????? ??212 =? 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算
(16)已知函数??(??,??)具有二阶连续偏导数，??(1,1)=2是
??(??,??)的极值，??=??(??+??,??(??,??)).求??????|??=1.
??=1?2??【解析】 由链导法则，
??????=??′??+??′??+??′??，其中??=??+
??,??=??(??,??).
所以
?2??=??′′????+??′′??????′????????+(??′′????+??′′??????′??)??′??+??′????′′????
由于??(1,1)=2是??(??,??)的极值，则
??′??(1,1)=??′??(1,1)=0, ??′??(1,1)=??′??(1,1)=0,
令??=??=1，得
?2??=??′′????(2,2)+??′??(2,2)??′′????(1,1) |????????=1??=1 =??′′????(2,2)+??′??(2,2)??′′????(1,1)
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值
(17)求不定积分∫【解析】 【方法一】
????????????√??+??????????.
√??令√??=??，则??=??2,????=2??????
????????????√??+??????∫????√??=2∫(??????????????+2??????)????
=2??(??????????????+2??????)?
2∫(??√1???2+2)????
=2??(??????????????+2??????)+∫
??(1???2)√1???2?4??
=2??(??????????????+2??????)+
2√1???2?4??+??
=2√??(????????????√??+??????)+2√1????
4√??+??
【方法二】
????????????√??+??????∫????√??=2∫(????????????√??+??????)??√?? =2√??(????????????√??+??????)?
2∫(211+)???? √1???√?? =2√??(????????????√??+??????)+
2√1????4√??+??
【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 (18)证明4?????????????????+【解析】
令??(??)=4?????????????????+明??(??)恰有两个零点
243?????′(??)=?1=
1+??21+??24???34???√33=0恰有两个实根。
√3，本题也就是要证令??′(??)=0得??=±√3，则
当??∈(?∞,?√3)时，??′(??)<0,??(??)单调减； 当??∈(?√3,√3)时，??′(??)>0,??(??)单调增； 当??∈(√3,+∞)时，??′(??)<0,??(??)单调减； 又????????(??)=??????4?????????????????+
??→?∞??→?∞4???√33=
+∞
??(?√3)=4?????????????(?√3)+√3+
4???3√3=0
4??8????(√3)=4????????????(√3)?√3+?√3=?2√3>0
33????????(??)=??????4?????????????????+
??→+∞??→+∞4???√33=?∞
则??=?√3为??(??)的一个零点，在(√3,+∞)内??(??)还有一个零点
故4?????????????????+
4???√33=0恰有两个实根。
考研数学三真题及答案
