2011年考研数学三真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)已知当??→0时，??(??)=3???????????????3??与??????是等价无穷小，则
(A)??=1,??=4 (B) ??=1,??=?4 (C)??=3,??=4 (D) ??=3,??=?4 【答案】C。 【解析】 【方法一】
????????→03???????????????3????????=????????→03?????????3??????3?? (洛必达
?????????1法则)
=3????????→0?????????+3??????3??????(???1)?????2 (洛必达法则)
3??????3??) (??2??=
3)
=
由此得??=4。 【方法二】 由泰勒公式知
1?????????(????????2????→0+????????→0=
11(???2+)=1
29??3????????=???+??(??3)
3!
(3??)3??????3??=3???+ ??(??3)
3!
则??(??)=3???????????????3??= ??(??3)
=4??3+ ??(??3)~4??3 (??→0) 故??=3,??=4。 【方法三】
??33???2?3??+
(3??)33!
+
3???????????????3??????????→0??????3?????????3??+3?????????3??=?????? ????→0????13(???????????)3?????????3??=[??????+??????] ??????→0????→0????1=[??????????→013?(?6??3)
????1(3??)3+??????6??]
??→0??119=(?+) (??=3) ??228==1 2??故??=4
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则
(2)已知??(??)在??=0处可导，且??(0)=0,则
??2??(??)?2??(??3)
????????3??→0=
(A)?2??′(0) (B)???′(0) (C) ??′(0) (D)0 【答案】B。 【解析】
【方法一】加项减项凑??=0处导数定义
??2??(??)?2??(??3)????????→0??3??2??(??)???2??(0)?2??(??3)+2??(0)
=?????? ??→0??3??(??)???(0)??(??3)???(0)=???????2 3??→0????=??′(0)?2??′(0)=???′(0) 【方法二】拆项用导数定义
??2??(??)?2??(??3)??(??)??(??3)
??????=???????2?????? 33??→0??→0??→0??????由于??(0)=0，由导数定义知
3??(??)????()
??????=??′(0), ??????=??′(0) 3??→0??→0??????2??(??)?2??(??3)
所以????????3??→0=??′(0)?2??′(0)=???′(0)
【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数??(??)=??,则
??2??(??)?2??(??3)??3?2??3??????=??????=?1 33??→0??→0????而对于??(??)=??.??′(0)=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)
【方法四】由于??(??)在??=0处可导，则
??(??)=??(0)+??′(0)??+??(??)=??′(0)??+??(??)
??(??3)=??′(0)??3+??(??3)
??2??(??)?2??(??3)
????????→0??3??2[??′(0)??+??(??)]?2[??′(0)??3+??(??3)]=?????? 3??→0?? =??′(0)?2??′(0)=???′(0) 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算
(3)设{????}是数列，则下列命题正确的是
∞(A)若∑∞??=1????收敛，则∑??=1(??2???1+??2??)收敛。 ∞(B)若∑∞??=1(??2???1+??2??)收敛，则∑??=1????收敛。 ∞∑(C)若∑∞??收敛，则????=1??=1(??2???1???2??)收敛。 ∞∑(D)若∑∞(?????)收敛，则2????=1??=1????收敛。 2???1【答案】A。 【解析】
若∑∞??=1????收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛 综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件
(4)设??=∫????????????????,??=∫0????????????????,??=0??4??4????????????????,则??,??,??的大小关系为 ∫0(A) ??
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，
由于当0
??4??4????????????
故∫????????????????<∫0????????????????<0??4??4??4?????????????????? ∫0即??
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质 (5)设??为3阶矩阵，将??第2列加到第1列得矩阵??,再交换??的
100第2行和第3行得单位矩阵，记??1=[110], ??2=
001100[001],则??= 010
考研数学三真题及答案
