?tan?OCB?ODBD， ?BD?ODtan30??33?3，
3?CD?BC?BD?8?3?5，
?tan?OCB?OD3CD?5. 故答案为35.
【考点】切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形
18.【答案】6或158
【解析】QAD?3AB?310，?AB?310，
Q四边形ABCD是矩形，?AD?BC?310，?AB?CD?10，?A??C?90?，?BD?AB2?AD2?10，
QCE?2BE，
?CE?210，BE?10， ?DE?52，tan?DEC?CDCE?10210?12， Q点P是AD的中点，
?PD?12AD?3102. ①如图1，当MN为底边时，则PM?PN，?PMN??PNM??DEC， 过点P作PQ?MN，则MQ?NQ，?MN?2MQ，
Q?A??PQD?90?，?ADB??PDQ，
?△BAD∽△PQD，
数学试卷 第11页(共24页) ?PQAB?PDBD?2， 3?PQ10?21010， 解得PQ?32；
在Rt△PMQ中，Qtan?PMN?PQMQ?tan?DEC?12， 3?PQMQ?112，即2MQ?2， ?MQ?3， ?MN?2MQ?6.
②如图2，当MN为腰时，则PM?MN，?MPN??MNP??DEC，过点M作MQ?PN于点Q，则PQ?NQ，
Q?MNP??DEC，??PND??DEB，
又QAD∥BC，??PDN??DBE，
?△PND∽△DEB，
?PDPNBD?DE， 310?2PN10?52， 解得PN?325，?NQ?345，
在Rt△MNQ中，Qtan?MNP?MQNQ?tan?DEC?12， ?MQNQ?12，即MQ3?1，
452?MQ?385，
?MN?MQ2?NQ2?158.
综上所述，MN的值为6或158.
数学试卷 第12页(共24页)
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【考点】矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理 三、解答题
19.【答案】（1）?0???1??1?2???(3)2?1?2?3?0；
（2）(x?1)(x?1)?x(x?1)?x2?1?x2?x?x?1.
【解析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算
即可； 【考点】实数的运算
20.【答案】解：解不等式x?1＞0，得：x＞?1， 解不等式3x?8≤?x，得：x≤2， ?不等式组的解集为?1＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【考点】不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集 21.【答案】（1）AC?∥BD （2）EB与ED相等.
证明：由折叠可得，?CBD??C'BD，
QAD∥BC， ??ADB??CBD，
??EDB??EBD，
数学试卷 第13页(共24页) ?BE?DE.
【解析】（1）根据AD?C'B，ED?EB，即可得到AE?C'E，再根据三角形内角和定
理，即可得到?EAC'??EC'A??EBD??EDB，进而得出AC'∥BD； （2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到?EDB??EBD，进而得出BE?DE. 【考点】折叠变换的性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判
定与性质 22.【答案】（1）30,10 （2）这组数据的平均数为
6?5?11?10?8?15?5?2030?12（元）
； （3）估计该校学生的捐款总数为600?12?7200（元）.
【解析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6?11?8?5?30，由众数的定义即可得
出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案.
【考点】条形统计图的综合运用，平均数，众数的求法以及利用样本估计总体的思想 23.【答案】（1）
23； （2）画树状图为：
共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
数学试卷 第14页(共24页)
?拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13. 【解析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C
型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；
（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和
C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率.
解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等
腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种， ?盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是
23； 故答案为：
23； （2）画树状图为：
共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，?拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13. 【考点】用列表法或画树状图求事件的概率以及轴对称图形和中心对称图形的识别 24.【答案】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做?30?x?个零件， 由题意得：
180120x?30?x， 解得：x?18，
经检验：x?18是原分式方程的解， 则30?18?12（个）.
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件.
【解析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做?30?x?个零件，根据关键语句“甲做180
个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可.
数学试卷 第15页(共24页) 【考点】分式方程的应用
25.【答案】解：（1）QOA?22，?AOC?45?，
?A?2，2?
?k?4，
?y?4x；
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，
?AB?x轴，
?B的横纵标为2，
Q点D是BC的中点， ?D点的横坐标为1，
?D?1，4?.
【解析】（1）根据已知条件求出A点坐标即可；
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB?x轴，可知B的横纵标为2，D点
的横坐标为1，结合解析式即可求解.
【考点】平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图像上点的坐标特点
及用待定系数法求反比例函数的解析式
26.【答案】解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，1ab，122c2. 直角梯形的面积为12(a?b)(a?b). 由图形可知：1(a?b)(a?b)?122ab?12ab?12c2 整理得(a?b)2?2ab?c2,a2?b2?2ab?2ab?c2，
?a2?b2?c2.
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中?a2?b2?c2. （2）1?3?5?7?L?2n?1 （3）①6 3 ②y?n?2(m?1)
方法1.对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，
数学试卷 第16页(共24页)
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以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y?n?2(m?1). 方法2.以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共(m?3)个点为顶点，可把△ABC分割成3?2(m?1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m?4)个点为顶点，可把四边形分割成4?2(m?1)个互不重叠的小三角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m?n)个点作为顶点，可把原n边形分割成n?（2m?1）个互不重叠的小三角形.故可得y?n?2(m?1). 【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角
形的面积之和列出方程并整理.
（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为
13，，5，7，L，2n?1.故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答.
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即
可得出结论.
解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，112ab，2c2.
直角梯形的面积为12(a?b)(a?b).
由图形可知：1(a?b)(a?b)?1ab?1ab?1c22222
整理得(a?b)2?2ab?c2,a2?b2?2ab?2ab?c2，
?a2?b2?c2.
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中?a2?b2?c2.
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为13，，5，7，L，2n?1. 由图形可知：1?3?5?7?L?2n?1. 故答案为1?3?5?7?L?2n?1.
（3）①如图4，当n?4，m?2时，y?6 如图5，当n?5，m?3时，y?9.
数学试卷 第17页(共24页)
②方法1.对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角
形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y?n?2(m?1).方法2.以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共(m?3)个点为顶点，可把△ABC分割成3?2(m?1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m?4)个点为顶点，可把四边形分割成4?2(m?1)个互不重叠的小三角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m?n)个点作为顶点，可把原n边形分割成n?（2m?1）个互不重叠的小三角形.故可得y?n?2(m?1). 故答案为：①6，3；②n?（2m?1）. 【考点】列代数式，求代数式的值，规律探究以及运用知识解决问题 27.【答案】（1）2
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM?MN?NH.
Q二次函数解析式为y??x2?bx?3，
当x?0时y?3，
?C?0，3?，
当y?0时，?x2?2x?3?0， 解得：x1??1，x2?3.
?A?﹣，10?，B?3，0?.
数学试卷 第18页(共24页)
?直线BC的解析式为y??x?3. Q点D为OC的中点，
?D???0，3?2??.
?直线BD的解析式为y??1x?322， 设P?t,?t2?2t?3??0?t?3?，则M?t,?t?3?，N??t，?1t?3??22??，H?t，0?. ?PM??t2?2t?3?(?t?3)??t2?3t，
MN??t?3???3?13??12x?2????2t?2NH??132t?2，
?MN?NH.
QPM?MN，
??t2?3t??132t?2.
解得：t11?2，t2?3（舍去）.
?P??115??2，4??.
?P的坐标为??1?2,15?4??，使得PM?MN?NH.
（3）过点P作PF?x轴于F，交直线BD于E.
QOB?3，OD?32，?BOD?90?， ?BD?0B2?0D2?352. ?cos?OBD?OB325BD?35?5.
2QPQ?BD于点Q，PF?x轴于点F， ??PQE??BQR??PFR?90?. ??PRF??OBD??PRF??EPQ?90?. ??EPQ??OBD，即cos?EPQ?cos?OBD?255.
数学试卷 第19页(共24页) 在Rt△PQE中，cos?EPQ?PQ25PE?5， ?PQ?255PE. 在Rt△PFR中，cos?RPF?PF25PR?5， ?PR?PF525?2PF 5QS△PQB?2S△QRB，SVPQB?12BQgPQ，S1△QRB?2BQgQR ?PQ?2QR
设直线BD与抛物线交于点G，
Q?132x?2??x2?2x?3，解得：x1?3（即点B横坐标）
，x??122∴点G横坐标为?12
设P?t,?t2?2t?3?(t?3)，则E??13??t,?2t?2??
?PF??t2?2t?3，PE??t2?2t?3?????12t?3?2?53???t2?2t?2
①若?12＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
?PF??t2?2t?3，PE??t2?52t?32
QPQ?2QR
?PQ?23PR
?255PE?23g52PF，即6PE?5PF
?6????t2?52t?3?2???5??t2?2t?3?
解得：t1?2，t2?3（舍去）
?P(2,3)
②若?1＜x＜?12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3， 此时，PQ?QR，即S△PQB?2S△QRB不成立.
数学试卷 第20页(共24页)
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(高清版)2019年江苏省常州市中考数学试卷
