成都二十中2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．下列说法正确的是( C )
A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．空间的一个基底?a，b，c?所确定平面的个数为（C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个以上 3．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c. 其中正确的个数为( B )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原 来的正方体
中( D ) A．AB∥CD B．AB与CD相交
C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60° 5．下列命题中错误的是( D )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么直线l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6．下图是一几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的体积为( B )
3
A．1cm B．3cmC．2cm D．6cm
7．斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为( D )
22 12222
A．a B.aC.a D.a
224
3
3
3
→→
8、已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为( C )
A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1) C．(1,1,1)或(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
9．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，则应增加的条件是( B )
A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α
→→→→→→
11．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC的值为( A )
3
A．0 B. C．1 D．无法确定
2
11.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( D )
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
12．球O的球面上有四点S、A、B、C，其中O、A、B、C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S－ABC的体积的最大值为( D )
13
A．1 B. C. 3 D. 33二、填空题（每小题4分，共16分）
13已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为 2
14、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球大于 S正方体(填“大于、笑语或等于”).
15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，若E，F分别为线段A1D1，
CC1
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤
17．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G→→→→
为BD上一点，BG＝2GD，PA＝a，PB＝b，PC＝c，试用基底{a，b，c}表示向量PG.
[解析] ∵BG＝2GD， →2→∴BG＝BD.
3
z C11 B11 A11 →→→→→→→
又BD＝BA＋BC＝PA－PB＋PC－PB＝a＋c－2b，N M C A x B y
2212→→→
∴PG＝PB＋BG＝b＋(a＋c－2b)＝a－b＋c.
3333
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，
CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若AP＝2AB，求证：BE⊥平面PCD.
[解析] (1)取PD的中点F，连结AF，FE， 又∵E是PC的中点，
∴在△PDC中，EF∥DC，且EF＝，
2
由条件知AB∥DC，且AB＝，∴EF綊AB，
2
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD. (2)由(1)FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF， 在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD， 又AF⊥EF且PD∩EF＝F，∴AF⊥平面PDC， 又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC.
0
19．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90， 棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点。
（1）求BN的长；（2）求cos?BA1,CB1?的值。 解：以C为原点建立如图空间直角坐标系， （1）B（0，1，0），N（1，0，1）， ∴|BN|?DCDC(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3
（2）A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2) ∴|BA1|?6,|CB1|?5 ，
且BA,0,2)?(0,1,2)?3 ， ∴cos?BA1,CB1??1?CB1?(1BA1?CB1|BA1|?|CB1|?3010 。
20．如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.
四川省成都市高二数学上学期期中考试试题新人教A版
