中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年
全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|可以化简为
（ ）． （第1题图） （A）2ca （B）2a2b （C）a （D）a
2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =bx（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐（第6题图） 标为（ ）．
（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 3．如果a，b为给定的实数，且1?a?b，那么1，a?1， 2a?b，a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．
（A）1 （B）2a?1 （C）1 （D）1424
4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）． （A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围
是 .
（第7题图） 7．如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .
8．如果关于x的方程x2+kx+3k2－3k+942= 0的两个实数根分别为x1，x2，那2011么
x1x2012 的值为 ．
29．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值. 则CF的长为 .
（第10题图） 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知二次函数y?x2?（m?3）x?m?2，当?1?x?3时，恒有y?0；关于x的方程x2?（m?3）x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?910．求m的取值范围．
12．如图，⊙O的直径为AB，⊙O 1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O
上的点，OC与⊙O 1交于点D，且OD?CD．点E在OD上，且DC?DE，BE的延长线与⊙O 1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．
14．求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2， ，Lx2012，满足x1?x2?L?x2012，且1x?2?L?2012?n. 1x2x2012
12题图） （第
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1．C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
b?a?0?c，且b?c，
所以 a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．
2．D
解：由题设知，?2?a?(?3)，(?3)?(?2)?b，所以a?23，b?6.
?解方程组??y?2x，?3得???x??3，?x?3，y?6y??2； ?
?y?2.?x，??所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
3．D
解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为
1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b4?4， 中位数为 (a?1)?(a?b?1)4?4a?2b2?4， 于是 4?4a?2b4?3?4a?2b4?14.
4．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得
??x?2?n(y?2)，y?n?2(x?n)， ?消去x得 (2y－7)n = y+4，
2n =
(2y?7)?152y?7?1?152y?7.
因为
152y?7为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从
而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
5．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以p90?36，p89101?36，p2?36，p3?36，因此p3最大．
二、填空题
6．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．
7．8
解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以
ADANDNBF?NF?BN?21， 由此得AN?2NF，所以AN?23AF.
在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以
AF?AB2?BF2?5a，
（第7题） 于是 cos?BAF?AB25AF?5. 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ?AED??AFB，
?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90o.
于是 AM?AE?cos?BAF?255a， MN?AN?AM?2453AF?AM?15a，
S?MNDMN4S??. ?AFDAF15又S?AFD?12?(2a)?(2a)?2a2，所以S48?MND?15S?AFD?15a2. 因为a?15，所以S?MND?8. 8．?23 解：根据题意，关于x的方程有
?=k2
－4(34k2?3k?92)≥0，
由此得 (k－3)2
≤0．
又(k－3)2
≥0，所以(k－3)2
=0，从而k=3. 此时方程为x2
+3x+
94=0，解得x31=x2=?2.
2011故
x1x2012=
1x=?23． 229．8
解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知
2a?3b?130，
由此得0≤b≤43. 又 a?b?(m?1)(m?2)2，所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是
0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43，
87≤(m?1)(m?2)≤130，
由此得 m?8，或m?9.
当m?8时，b?40，a?5；当m?9时，b?20，a?35，
a?a?b552?2，不合题设. 故m?8．
10．
322 解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此
BCCF?BAAD. 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，（第10题）
于是
DEDC?OEOB?2. 因此 DE?2CD?2AD，CE?3AD.
由△AED∽△CEB，知DE?EC?AE?BE．因为AE?BA32，BE?2BA，
所以 2AD?3AD?BA2?32BA，BA=22AD ，故
CF?ADBC32BA?BC?22?2. 三、解答题
11．解： 因为当?1?x?3时，恒有y?0，所以
??（m?3）2?（4m?2）?0，
即
（m?1）2?0，所以m??1． ………（5分）当x??1时，y≤0；当x?3时，y≤0，即
(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0，
且 32?3(m?3)?m?2≤0，
解得m≤?5． ………（10分）设方程x2??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关
系得
x1?x2???m?3?，x1x2?m?2．
因为
1x?1??9，所以 1x210x1?x2m?39x????， 1x2m?210解得m??12，或m??2．
因此m??12． …………（20分）
12． 证明：连接BD，因为OB为eO1的直径，所以?ODB?90?．又因为DC?DE，所以△CBE是等腰三角形．
…………（5分）
设BC与eO1交于点M，连接OM，则?OMB?90?．又因为
（第12题） OC?OB，所以
?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F．
…………（15分）
又因为?BOC，?DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以
△BOC∽△DO1F． …………（20分）
13．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2
（n是正整数）. 因为 (a+b)2
－4ab = (a－b)2
， 所以 (2a－m)2
－4n2
= m2
，
(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2
. ………（5分）
因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n?m 2
，2a－m－2n?1.
解得 a?(m?1)2m2?14，n?4.
于是 b= a－m?（m?1）24. …………（10分）
2012年全国数学竞赛试题(答案)
