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2013年硕士研究生入学考试概率论习题训练 一、填空（或选择）题 （ 每空 2分, 共20分）
1.设A，B为两个随机事件，且P(A)?0.6，P(AB)?0.2，则P(A?B)? 0.4 2.设随机变量X与Y相互独立同分布，P{X?i}?P{Y?i}?P(X?Y?0)? 1/2 1，i??1,1；则 23.有三个人，每个人都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中恰有两人的概率是 9/64
4.设随机变量X与Y独立，X服从二项分布B(n,p)，Y服从[0,5]上的均匀分布。则E(2X?Y)=2np?525；D(X?2Y)?np?1?p?? 235.有5个人以抓阄方式决定谁得一张电影票，今设Ai={第i人摸到电影票}，
i?1,2,3,4,5。则概率P(A2)? 1/5 6.设随机变量T服从t分布t(n)，给定0???1，数t?(n)满足P?T?t??n????，
若P?T?x???，则x=t1???n?
27.设随机变量Xi的分布函数为Fi(x)，i?1,2。为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（ A ） (A). a?3/5,b??2/5 (B). a?2/3,b?2/3 (C). a??1/2,b?3/2 (D). a?1/2,b??3/2
8.设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，Xi服从两点分布B?1,0.2?， (i?1,2,...,n)，
1n由中心极限定理知，当n充分大时，随机变量Y??Xi渐近服从
ni?1N?0.2,0.16n?分布(写出该分布的参数)。
9.将一枚硬币投掷20次，以X,Y分别表示出现正面与反面的次数，则相关系数
?XY? -1
二、（14分）盒中有12只球，其中9只新球。第一次比赛从中任取3球，用后
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放回，第二次比赛从中再取3球。求： (1) 第二次取出的球都是新球的概率；
(2) 若第二次取出的都是新球，第一次取出的都是新球的概率是多少？ 解：令Ai={第一次取出i个新球}，i?0,1,2,3；
B={第二次取出的都是新球}； (1) 由全概率公式：P(B)??P(Ai)P(B|Ai)
i?033312321333C3C9C9C3C8C9C3C7C9C6= 3?3?3?3?3?3?3?3=7056?0.1458 32)C12C12C12C12C12C12C12C12(C12(2) 由贝叶斯公式：P(A3|B)?P(A3B)P(A3)P(B|A3) ?P(B)P(B)3332C9C6/[C12]= 0.2381 ?327056/[C12]
三、（14分）设随机变量(X? Y)具有联合概率密度
0?x?y?1?8xy, p(x,y)??0,其它?(1) X与Y是否独立，为什么？ (2) 求概率P(X?Y?1)。
1????8xydy0?x?1解 (1) pX(x)??f(x,y)dy???x
???其它?0?4x(1?x2),0?x?1 ??
,其它?0y?????8xydx,0?y?1pY(y)??p(x,y)dy??0
???,其它?0?4y3,0?y?1 ???
其它?0,由于p(x,y)?pX(x)pY(y)，故X与Y不独立。
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(2) P(X?Y?1)?x?y?1??p(x,y)dxdy
x ??[?01/21?x8xydy]dx??4x(1?2x)dx?1?
061/2
3四、（12分）设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1), Y~N(0,)，
4若Z?X?2Y，求数学期望EZ及方差DZ。
解：由于E(Z)?E(X)?2E(Y)?0, D(Z)?D(X)?4D(Y)?4， 因而，Z~N(0,4),
?E|Z|?????|z|2?z212?1e?z28?dz??4?012?e?z28z22d(?)?28?2)
D|Z|?
??22?e?z24dz?E2(|z|)?4(1??五、（12分）设X1,X2,?,Xm和Y1,Y2,?,Yn分别是来自两个相互独立的正态总体
N(?1,?2),N(?2,?2)的样本，?和?是两个已知的正实数。试求统计量
Y??(X??1)??(Y??2)?2?2(m?1)Sm?(n?1)Sn?2m?n?2m??2
n?2?2的概率分布（要求写出分布的参数）。其中X,Sm和Y,Sn分别是总体N(?1,?2)和
N(?2,?2)的样本均值和修正样本方差。
解：由题设可知，样本X1,?,Xm和Y1,?,Yn相互独立，所以
??2???2?X~N???1,m??,Y~N???2,n??，且X,Y相互独立。
????'.
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??22?22?从而??X??1????Y??2?~N??0,m??n???，
??也即
??X??1????Y??2?~N?0,1?。
22????mn?2(m?1)Sm2?2(n?1)Sn又因为
?2~?(m?1)，
?2~?2(n?1)，且两者相互独立。
再由?分布的可加性知：从而根据T分布的定义
2?2(m?1)Sm?2??2(n?1)Sn?2~?2(m?n?2)。
Y??(X??1)??(Y??2)?2?2(m?1)Sm?(n?1)Sn?2m?n?2m??2~t?m?n?2?。
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六、（14分）设总体X的概率密度函数为
1?x????1??e,x???0,??0? p?x?????0,其他?X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本。
?及??； (1) 分别求?和?的最大似然估计量??是否为无偏估计量，为什么？ (2) ??是否为相合估计量，为什么？ (3) ?解：(1)设样本X1,X2,?,Xn的观测值为x1,x2,?,xn，并记
x?1??min?x1,x2,?,xn?，则似然函数为
1n??xi????1n,xi???0,i?1,2,?,n,??0??e?L??,????p?xi???i?1?
i?1?0,其他?'.
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1????xi?n??1e?i?1,x?1???,??0。 ???n?,其他?0n可见，似然函数L??,??关于?是单调增加的。
??x处取到相应的最大值，因此， 由于??x?1?，所以对于每给定的?，L??,??在??1???x。 ?的最大似然估计值为??1??取对数，可得 ??x代上述似然函数（非零的一支）接着，将?，并对L?,??1???lnL??nln??上式关于?求导，并令其为0，可得
1?i?1n?x?? ?in?????2?xi?n2?0 ??i?1?n1n因为??0，所以求解上式，可得
1n1n?????xi????xi?x?1?
ni?1ni?1从而有?和?的最大似然估计量分别为
???X?X?X?X,??X，???1??1?i?1?(2) 总体X的分布函数为
1nni?1(记X?1n?Xi) ni?11??x??????,x???0,??0 F?x???1?e?,其他?0因此，X?1?的概率密度函数为
n?x????n??,x???0,??0?en?1pX?1??x??n?1?F?x??p?x????
?0,其他???n???x?????dx?????算得E??EX?1???xpX?1??x?dx??xe????nn???0?
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