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因式分解
一、导入：
有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!
启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾： 1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a-b=(a+b)(a-b)； (2)a±2ab+b=(a±b)； (3)a+b=(a+b)(a-ab+b)； (4)a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数； (8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数； (9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 三、专题讲解
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例1 分解因式：
(1)-2x
5n-1n
y+4x
3n-1n+2
y-2xy； (2)x-8y-z-6xyz；
n-1n+4333
解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
例2 分解因式：a+b+c-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
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分析 我们已经知道公式
(a+b)=a+3ab+3ab+b
的正确性，现将此公式变形为
a+b=(a+b)-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc =［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a+b+c-3abc
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显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． ※※变式练习
1分解因式：x+x+x+…+x+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解． 解 因为
x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)， 所以
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说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵
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消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例3 分解因式：x-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x-9x-1+9 =(x-1)-9x+9 =(x-1)(x+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x-x-8x+8 =(x-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
解法3 将三次项x拆成9x-8x． 原式=9x-8x-9x+8 =(9x-9x)+(-8x+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1) =(x-1)(x+x-8)． 解法4 添加两项-x+x． 原式=x-9x+8 =x-x+x-9x+8 =x(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． ※※变式练习 1分解因式： (1)x+x+x-3； (2)(m-1)(n-1)+4mn； (3)(x+1)+(x-1)+(x-1)； (4)ab-ab+a+b+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1．
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原式=x+x+x-1-1-1 =(x-1)+(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1) =(x-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn =mn-m-n+1+2mn+2mn =(mn+2mn+1)-(m-2mn+n) =(mn+1)-(m-n)
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)． 原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1) =［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1) =［(x+1)+(x-1)]-(x-1) =(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab =(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1) =[a(a-b)+1](ab+b+1) =(a-ab+1)(b+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰． 例4 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10
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=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5) =(x-1)(x+2)(x+x+5)．
说明 本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例5 分解因式：
(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90． 令y=2x+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y+y-90 =(y+10)(y-9)
=(2x+5x+12)(2x+5x-7) =(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础． ※※变式练习 1.分解因式：
(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．
解 设x+4x+8=y，则 原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x) =(x+6x+8)(x+5x+8) =(x+2)(x+4)(x+5x+8)．
说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式． 1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也
可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变
形为
2x-(5+7y)x-(22y-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
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因式分解[竞赛题]含答案
